Výpočet trojuholníka SSS - výsledok

Pravouhlý rôznostranný trojuholník.

Dĺžky strán trojuholníka:
a = 10
b = 12,49
c = 16

Obsah trojuholníka: S = 62,45
Obvod trojuholníka: o = 38,49
Semiperimeter (poloobvod): s = 19,245

Uhol ∠ A = α = 38,68221874535° = 38°40'56″ = 0,67551315329 rad
Uhol ∠ B = β = 51,31878354832° = 51°19'4″ = 0,89656651942 rad
Uhol ∠ C = γ = 909,9999770633° = 90° = 1,57107959265 rad

Výška trojuholníka na stranu a: v_a = 12,49
Výška trojuholníka na stranu b: v_b = 10
Výška trojuholníka na stranu c: v_c = 7,806625

Ťažnica: t_a = 13,45436259053
Ťažnica: t_b = 11,79898250623
Ťažnica: t_c = 88,000003125

Polomer vpísanej kružnice: r = 3,2454998701
Polomer opísanej kružnice: R = 8

Súradnice vrcholov: A[16; 0] B[0; 0] C[6,2549996875; 7,806625]
Ťažisko: T[7,4176665625; 2,60220833333]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[8; 03,2026E-6]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[6,755; 3,2454998701]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 141,31878125465° = 141°19'4″ = 0,67551315329 rad
∠ B' = β' = 128,68221645168° = 128°40'56″ = 0,89656651942 rad
∠ C' = γ' = 900,0000229367° = 90° = 1,57107959265 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 10 b = 12, 49 c = 16

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 10 + 12, 49 + 16 = 38, 49

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{3 8 , 4 9}{2} = 19, 25

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 19, 25 (19, 25 - 10) (19, 25 - 12, 49) (19, 25 - 16) S = 3900 = 62, 45

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 6 2 , 4 5}{1 0} = 12, 49 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 6 2 , 4 5}{1 2 , 4 9} = 10 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 6 2 , 4 5}{1 6} = 7, 81

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 2 , 4 9 ^{2} + 1 6 ^{2} - 1 0 ^{2}}{2 \cdot 1 2 , 4 9 \cdot 1 6}) = 38 ° 4 0^{'} 56 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 0 ^{2} + 1 6 ^{2} - 1 2 , 4 9 ^{2}}{2 \cdot 1 0 \cdot 1 6}) = 51 ° 1 9^{'} 4 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 38 ° 4 0^{'} 56 " - 51 ° 1 9^{'} 4 " = 90 °

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{6 2 , 4 5}{1 9 , 2 5} = 3, 24

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 0 \cdot 1 2 , 4 9 \cdot 1 6}{4 \cdot 3 , 2 4 5 \cdot 1 9 , 2 4 5} = 8

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 2 , 4 9 ^{2} + 2 \cdot 1 6 ^{2} - 1 0 ^{2}}{2} = 13, 454 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 6 ^{2} + 2 \cdot 1 0 ^{2} - 1 2 , 4 9 ^{2}}{2} = 11, 79 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 0 ^{2} + 2 \cdot 1 2 , 4 9 ^{2} - 1 6 ^{2}}{2} = 8

Vypočítať ďaľší trojuholník