Výpočet trojuholníka SSS - výsledok

Ostrouhlý rôznostranný trojuholník.

Dĺžky strán trojuholníka:
a = 10
b = 29,6
c = 31,24

Obsah trojuholníka: S = 1487,9999895562
Obvod trojuholníka: o = 70,84
Semiperimeter (poloobvod): s = 35,42

Uhol ∠ A = α = 18,66991183303° = 18°40'9″ = 0,32658375833 rad
Uhol ∠ B = β = 71,35224063009° = 71°21'9″ = 1,24553344192 rad
Uhol ∠ C = γ = 89,97884753688° = 89°58'43″ = 1,57704206511 rad

Výška trojuholníka na stranu a: v_a = 29.65999979112
Výška trojuholníka na stranu b: v_b = 10.9999992943
Výška trojuholníka na stranu c: v_c = 9,47550313416

Ťažnica: t_a = 30,01774749105
Ťažnica: t_b = 17,85985777709
Ťažnica: t_c = 15,62435591336

Polomer vpísanej kružnice: r = 4,17884299705
Polomer opísanej kružnice: R = 15,62200011022

Súradnice vrcholov: A[31,24; 0] B[0; 0] C[3,19774647887; 9,47550313416]
Ťažisko: T[11,47991549296; 3,15883437805]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[15,62; 0,00658680545]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[5,82; 4,17884299705]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 161,33108816697° = 161°19'51″ = 0,32658375833 rad
∠ B' = β' = 108,64875936991° = 108°38'51″ = 1,24553344192 rad
∠ C' = γ' = 90,02215246312° = 90°1'17″ = 1,57704206511 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 10 b = 29, 6 c = 31, 24

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 10 + 29, 6 + 31, 24 = 70, 84

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{7 0 , 8 4}{2} = 35, 42

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 35, 42 (35, 42 - 10) (35, 42 - 29, 6) (35, 42 - 31, 24) S = 21904 = 148

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 1 4 8}{1 0} = 29, 6 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 1 4 8}{2 9 , 6} = 10 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 1 4 8}{3 1 , 2 4} = 9, 48

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{2 9 , 6 ^{2} + 3 1 , 2 4 ^{2} - 1 0 ^{2}}{2 \cdot 2 9 , 6 \cdot 3 1 , 2 4}) = 18 ° 4 0^{'} 9 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 0 ^{2} + 3 1 , 2 4 ^{2} - 2 9 , 6 ^{2}}{2 \cdot 1 0 \cdot 3 1 , 2 4}) = 71 ° 2 1^{'} 9 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 18 ° 4 0^{'} 9 " - 71 ° 2 1^{'} 9 " = 89 ° 5 8^{'} 43 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{1 4 8}{3 5 , 4 2} = 4, 18

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 0 \cdot 2 9 , 6 \cdot 3 1 , 2 4}{4 \cdot 4 , 1 7 8 \cdot 3 5 , 4 2} = 15, 62

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 9 , 6 ^{2} + 2 \cdot 3 1 , 2 4 ^{2} - 1 0 ^{2}}{2} = 30, 017 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 3 1 , 2 4 ^{2} + 2 \cdot 1 0 ^{2} - 2 9 , 6 ^{2}}{2} = 17, 859 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 0 ^{2} + 2 \cdot 2 9 , 6 ^{2} - 3 1 , 2 4 ^{2}}{2} = 15, 624

Vypočítať ďaľší trojuholník