Výpočet trojuholníka SSS - výsledok

Tupouhlý rôznostranný trojuholník.

Dĺžky strán trojuholníka:
a = 10
b = 4
c = 11,38

Obsah trojuholníka: S = 19,71329893418
Obvod trojuholníka: o = 25,38
Semiperimeter (poloobvod): s = 12,69

Uhol ∠ A = α = 60,01113359925° = 60°41″ = 1,04773954016 rad
Uhol ∠ B = β = 20,27703175021° = 20°16'13″ = 0,35437837808 rad
Uhol ∠ C = γ = 99,71883465055° = 99°43'6″ = 1,74404134712 rad

Výška trojuholníka na stranu a: v_a = 3,94325978684
Výška trojuholníka na stranu b: v_b = 9,85664946709
Výška trojuholníka na stranu c: v_c = 3,46444972481

Ťažnica: t_a = 6,91102966651
Ťažnica: t_b = 10,52438871146
Ťažnica: t_c = 5,06220055314

Polomer vpísanej kružnice: r = 1,55334270561
Polomer opísanej kružnice: R = 5,77328433789

Súradnice vrcholov: A[11,38; 0] B[0; 0] C[9,3810685413; 3,46444972481]
Ťažisko: T[6,9220228471; 1,1554832416]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[5,69; -0,97444848266]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[8,69; 1,55334270561]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 119,98986640075° = 119°59'19″ = 1,04773954016 rad
∠ B' = β' = 159,73296824979° = 159°43'47″ = 0,35437837808 rad
∠ C' = γ' = 80,28216534945° = 80°16'54″ = 1,74404134712 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 10 b = 4 c = 11, 38

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 10 + 4 + 11, 38 = 25, 38

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{2 5 , 3 8}{2} = 12, 69

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 1 9 , 7 1}{1 0} = 3, 94 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 1 9 , 7 1}{4} = 9, 86 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 1 9 , 7 1}{1 1 , 3 8} = 3, 46

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{1 9 , 7 1}{1 2 , 6 9} = 1, 55

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 0 \cdot 4 \cdot 1 1 , 3 8}{4 \cdot 1 , 5 5 3 \cdot 1 2 , 6 9} = 5, 77

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

Vypočítať ďaľší trojuholník