Výpočet trojuholníka SSS - výsledok

Ostrouhlý rôznostranný trojuholník.

Dĺžky strán trojuholníka:
a = 10
b = 7,62
c = 8

Obsah trojuholníka: S = 29,97767083048
Obvod trojuholníka: o = 25,62
Semiperimeter (poloobvod): s = 12,81

Uhol ∠ A = α = 79,5733478464° = 79°34'25″ = 1,38988191965 rad
Uhol ∠ B = β = 48,54399630767° = 48°32'24″ = 0,84771821745 rad
Uhol ∠ C = γ = 51,88765584592° = 51°53'12″ = 0,90655912826 rad

Výška trojuholníka na stranu a: v_a = 5,9955341661
Výška trojuholníka na stranu b: v_b = 7,86879024422
Výška trojuholníka na stranu c: v_c = 7,49441770762

Ťažnica: t_a = 6,00326827336
Ťažnica: t_b = 8,21548584893
Ťažnica: t_c = 7,93992820834

Polomer vpísanej kružnice: r = 2,34401021315
Polomer opísanej kružnice: R = 5,08439471249

Súradnice vrcholov: A[8; 0] B[0; 0] C[6,6210975; 7,49441770762]
Ťažisko: T[4,87436583333; 2,49880590254]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[4; 3,13879162463]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[5,19; 2,34401021315]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 100,4276521536° = 100°25'35″ = 1,38988191965 rad
∠ B' = β' = 131,46600369233° = 131°27'36″ = 0,84771821745 rad
∠ C' = γ' = 128,11334415408° = 128°6'48″ = 0,90655912826 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 10 b = 7, 62 c = 8

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 10 + 7, 62 + 8 = 25, 62

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{2 5 , 6 2}{2} = 12, 81

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 12, 81 (12, 81 - 10) (12, 81 - 7, 62) (12, 81 - 8) S = 898, 6 = 29, 98

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 2 9 , 9 8}{1 0} = 6 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 2 9 , 9 8}{7 , 6 2} = 7, 87 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 2 9 , 9 8}{8} = 7, 49

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{7 , 6 2 ^{2} + 8 ^{2} - 1 0 ^{2}}{2 \cdot 7 , 6 2 \cdot 8}) = 79 ° 3 4^{'} 25 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 0 ^{2} + 8 ^{2} - 7 , 6 2 ^{2}}{2 \cdot 1 0 \cdot 8}) = 48 ° 3 2^{'} 24 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 79 ° 3 4^{'} 25 " - 48 ° 3 2^{'} 24 " = 51 ° 5 3^{'} 12 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{2 9 , 9 8}{1 2 , 8 1} = 2, 34

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 0 \cdot 7 , 6 2 \cdot 8}{4 \cdot 2 , 3 4 \cdot 1 2 , 8 1} = 5, 08

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 7 , 6 2 ^{2} + 2 \cdot 8 ^{2} - 1 0 ^{2}}{2} = 6, 003 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 8 ^{2} + 2 \cdot 1 0 ^{2} - 7 , 6 2 ^{2}}{2} = 8, 215 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 0 ^{2} + 2 \cdot 7 , 6 2 ^{2} - 8 ^{2}}{2} = 7, 939

Vypočítať ďaľší trojuholník