Výpočet trojuholníka SSS - výsledok

Tupouhlý rôznostranný trojuholník.

Dĺžky strán trojuholníka:
a = 10
b = 8
c = 12,81

Obsah trojuholníka: S = 409,999992785
Obvod trojuholníka: o = 30,81
Semiperimeter (poloobvod): s = 15,405

Uhol ∠ A = α = 51,3199209145° = 51°19'9″ = 0,89656891691 rad
Uhol ∠ B = β = 38,64663775753° = 38°38'47″ = 0,67545065327 rad
Uhol ∠ C = γ = 90,03444132796° = 90°2'4″ = 1,57113969518 rad

Výška trojuholníka na stranu a: v_a = 87,999998557
Výška trojuholníka na stranu b: v_b = 10.9999981962
Výška trojuholníka na stranu c: v_c = 6,24551198728

Ťažnica: t_a = 9,43765274333
Ťažnica: t_b = 10,77325600486
Ťažnica: t_c = 6,40112479252

Polomer vpísanej kružnice: r = 2,59765590902
Polomer opísanej kružnice: R = 6,40550011553

Súradnice vrcholov: A[12,81; 0] B[0; 0] C[7,81101522248; 6,24551198728]
Ťažisko: T[6,87333840749; 2,08217066243]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[6,405; -0,00438470038]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[7,405; 2,59765590902]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 128,6810790855° = 128°40'51″ = 0,89656891691 rad
∠ B' = β' = 141,35436224247° = 141°21'13″ = 0,67545065327 rad
∠ C' = γ' = 89,96655867204° = 89°57'56″ = 1,57113969518 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 10 b = 8 c = 12, 81

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 10 + 8 + 12, 81 = 30, 81

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{3 0 , 8 1}{2} = 15, 41

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 15, 41 (15, 41 - 10) (15, 41 - 8) (15, 41 - 12, 81) S = 1600 = 40

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 4 0}{1 0} = 8 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 4 0}{8} = 10 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 4 0}{1 2 , 8 1} = 6, 25

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{8 ^{2} + 1 2 , 8 1 ^{2} - 1 0 ^{2}}{2 \cdot 8 \cdot 1 2 , 8 1}) = 51 ° 1 9^{'} 9 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 0 ^{2} + 1 2 , 8 1 ^{2} - 8 ^{2}}{2 \cdot 1 0 \cdot 1 2 , 8 1}) = 38 ° 3 8^{'} 47 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 51 ° 1 9^{'} 9 " - 38 ° 3 8^{'} 47 " = 90 ° 2^{'} 4 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{4 0}{1 5 , 4 1} = 2, 6

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 0 \cdot 8 \cdot 1 2 , 8 1}{4 \cdot 2 , 5 9 7 \cdot 1 5 , 4 0 5} = 6, 41

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 8 ^{2} + 2 \cdot 1 2 , 8 1 ^{2} - 1 0 ^{2}}{2} = 9, 437 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 2 , 8 1 ^{2} + 2 \cdot 1 0 ^{2} - 8 ^{2}}{2} = 10, 773 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 0 ^{2} + 2 \cdot 8 ^{2} - 1 2 , 8 1 ^{2}}{2} = 6, 401

Vypočítať ďaľší trojuholník