Výpočet trojuholníka SSS - výsledok

Tupouhlý rôznostranný trojuholník.

Dĺžky strán trojuholníka:
a = 10,23
b = 13
c = 6

Obsah trojuholníka: S = 29,86105713291
Obvod trojuholníka: o = 29,23
Semiperimeter (poloobvod): s = 14,615

Uhol ∠ A = α = 49,9655359093° = 49°57'55″ = 0,87220600281 rad
Uhol ∠ B = β = 103,35109354125° = 103°21'3″ = 1,8043814108 rad
Uhol ∠ C = γ = 26,68437054945° = 26°41'1″ = 0,46657185175 rad

Výška trojuholníka na stranu a: v_a = 5,83878438571
Výška trojuholníka na stranu b: v_b = 4,59439340506
Výška trojuholníka na stranu c: v_c = 9,95435237764

Ťažnica: t_a = 8,73770919075
Ťažnica: t_b = 5,29987215439
Ťažnica: t_c = 11,30660359985

Polomer vpísanej kružnice: r = 2,04331454895
Polomer opísanej kružnice: R = 6,68105486674

Súradnice vrcholov: A[6; 0] B[0; 0] C[-2,36222583333; 9,95435237764]
Ťažisko: T[1,21325805556; 3,31878412588]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[3; 5,96990644575]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[1,615; 2,04331454895]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 130,0354640907° = 130°2'5″ = 0,87220600281 rad
∠ B' = β' = 76,64990645875° = 76°38'57″ = 1,8043814108 rad
∠ C' = γ' = 153,31662945055° = 153°18'59″ = 0,46657185175 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 10, 23 b = 13 c = 6

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 10, 23 + 13 + 6 = 29, 23

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{2 9 , 2 3}{2} = 14, 62

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 14, 62 (14, 62 - 10, 23) (14, 62 - 13) (14, 62 - 6) S = 891, 65 = 29, 86

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 2 9 , 8 6}{1 0 , 2 3} = 5, 84 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 2 9 , 8 6}{1 3} = 4, 59 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 2 9 , 8 6}{6} = 9, 95

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 3 ^{2} + 6 ^{2} - 1 0 , 2 3 ^{2}}{2 \cdot 1 3 \cdot 6}) = 49 ° 5 7^{'} 55 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 0 , 2 3 ^{2} + 6 ^{2} - 1 3 ^{2}}{2 \cdot 1 0 , 2 3 \cdot 6}) = 103 ° 2 1^{'} 3 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 49 ° 5 7^{'} 55 " - 103 ° 2 1^{'} 3 " = 26 ° 4 1^{'} 1 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{2 9 , 8 6}{1 4 , 6 2} = 2, 04

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 0 , 2 3 \cdot 1 3 \cdot 6}{4 \cdot 2 , 0 4 3 \cdot 1 4 , 6 1 5} = 6, 68

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 3 ^{2} + 2 \cdot 6 ^{2} - 1 0 , 2 3 ^{2}}{2} = 8, 737 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 6 ^{2} + 2 \cdot 1 0 , 2 3 ^{2} - 1 3 ^{2}}{2} = 5, 299 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 0 , 2 3 ^{2} + 2 \cdot 1 3 ^{2} - 6 ^{2}}{2} = 11, 306

Vypočítať ďaľší trojuholník