Výpočet trojuholníka SSS - výsledok
Tupouhlý rôznostranný trojuholník.
Dĺžky strán trojuholníka:a = 10,29
b = 27,86
c = 30,86
Obsah trojuholníka: S = 142,25989213847
Obvod trojuholníka: o = 69,01
Semiperimeter (poloobvod): s = 34,505
Uhol ∠ A = α = 19,32550628117° = 19°19'30″ = 0,33772859742 rad
Uhol ∠ B = β = 63,63545585726° = 63°38'4″ = 1,11106325651 rad
Uhol ∠ C = γ = 97,04403786157° = 97°2'25″ = 1,69436741142 rad
Výška trojuholníka na stranu a: va = 27,65499361292
Výška trojuholníka na stranu b: vb = 10,21224135955
Výška trojuholníka na stranu c: vc = 9,22196319757
Ťažnica: ta = 28,94545776442
Ťažnica: tb = 18,3054834061
Ťažnica: tc = 14,24659450371
Polomer vpísanej kružnice: r = 4,12328494822
Polomer opísanej kružnice: R = 15,54772257871
Súradnice vrcholov: A[30,86; 0] B[0; 0] C[4,57697359041; 9,22196319757]
Ťažisko: T[11,8109911968; 3,07332106586]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[15,43; -1,90656048057]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[6,645; 4,12328494822]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 160,67549371883° = 160°40'30″ = 0,33772859742 rad
∠ B' = β' = 116,36554414274° = 116°21'56″ = 1,11106325651 rad
∠ C' = γ' = 82,96596213843° = 82°57'35″ = 1,69436741142 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=10,29 b=27,86 c=30,86
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=10,29+27,86+30,86=69,01
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=269,01=34,51
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=34,51(34,51−10,29)(34,51−27,86)(34,51−30,86) S=20237,6=142,26
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=10,292⋅ 142,26=27,65 vb=b2 S=27,862⋅ 142,26=10,21 vc=c2 S=30,862⋅ 142,26=9,22
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 27,86⋅ 30,8627,862+30,862−10,292)=19°19′30" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 10,29⋅ 30,8610,292+30,862−27,862)=63°38′4" γ=180°−α−β=180°−19°19′30"−63°38′4"=97°2′25"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=34,51142,26=4,12
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 4,123⋅ 34,50510,29⋅ 27,86⋅ 30,86=15,55
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 27,862+2⋅ 30,862−10,292=28,945 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 30,862+2⋅ 10,292−27,862=18,305 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 10,292+2⋅ 27,862−30,862=14,246
Vypočítať ďaľší trojuholník