Výpočet trojuholníka SSS - výsledok
Ostrouhlý rôznostranný trojuholník.
Dĺžky strán trojuholníka:a = 10,77
b = 8,94
c = 7,21
Obsah trojuholníka: S = 31,98221676876
Obvod trojuholníka: o = 26,92
Semiperimeter (poloobvod): s = 13,46
Uhol ∠ A = α = 82,9098625957° = 82°54'31″ = 1,44770285013 rad
Uhol ∠ B = β = 55,46603343505° = 55°27'37″ = 0,96879654387 rad
Uhol ∠ C = γ = 41,63110396925° = 41°37'52″ = 0,72765987137 rad
Výška trojuholníka na stranu a: va = 5,93991212048
Výška trojuholníka na stranu b: vb = 7,15548473574
Výška trojuholníka na stranu c: vc = 8,8721613783
Ťažnica: ta = 6,07991138334
Ťažnica: tb = 88,0004749859
Ťažnica: tc = 9,21774955926
Polomer vpísanej kružnice: r = 2,37660897242
Polomer opísanej kružnice: R = 5,42765098975
Súradnice vrcholov: A[7,21; 0] B[0; 0] C[6,10663384189; 8,8721613783]
Ťažisko: T[4,4398779473; 2,95772045943]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[3,605; 4,05659813446]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[4,52; 2,37660897242]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 97,0911374043° = 97°5'29″ = 1,44770285013 rad
∠ B' = β' = 124,54396656495° = 124°32'23″ = 0,96879654387 rad
∠ C' = γ' = 138,36989603075° = 138°22'8″ = 0,72765987137 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=10,77 b=8,94 c=7,21
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=10,77+8,94+7,21=26,92
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=226,92=13,46
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=13,46(13,46−10,77)(13,46−8,94)(13,46−7,21) S=1022,86=31,98
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=10,772⋅ 31,98=5,94 vb=b2 S=8,942⋅ 31,98=7,15 vc=c2 S=7,212⋅ 31,98=8,87
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 8,94⋅ 7,218,942+7,212−10,772)=82°54′31" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 10,77⋅ 7,2110,772+7,212−8,942)=55°27′37" γ=180°−α−β=180°−82°54′31"−55°27′37"=41°37′52"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=13,4631,98=2,38
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 2,376⋅ 13,4610,77⋅ 8,94⋅ 7,21=5,43
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 8,942+2⋅ 7,212−10,772=6,079 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 7,212+2⋅ 10,772−8,942=8 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 10,772+2⋅ 8,942−7,212=9,217
Vypočítať ďaľší trojuholník