Výpočet trojuholníka SSS - výsledok

Tupouhlý rôznostranný trojuholník.

Dĺžky strán trojuholníka:
a = 100
b = 90
c = 11,77

Obsah trojuholníka: S = 294,28993575651
Obvod trojuholníka: o = 201,77
Semiperimeter (poloobvod): s = 100,885

Uhol ∠ A = α = 146,24658907748° = 146°14'45″ = 2,55224723115 rad
Uhol ∠ B = β = 30,0044424696° = 30°16″ = 0,52436760011 rad
Uhol ∠ C = γ = 3,75496845292° = 3°44'59″ = 0,06554443409 rad

Výška trojuholníka na stranu a: v_a = 5,88657871513
Výška trojuholníka na stranu b: v_b = 6,54397635014
Výška trojuholníka na stranu c: v_c = 50,00766877766

Ťažnica: t_a = 40,24401099651
Ťažnica: t_b = 55,17548715449
Ťažnica: t_c = 94,9499285279

Polomer vpísanej kružnice: r = 2,91770774403
Polomer opísanej kružnice: R = 89,98879636121

Súradnice vrcholov: A[11,77; 0] B[0; 0] C[86,59986788445; 50,00766877766]
Ťažisko: T[32,79895596148; 16,66988959255]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[5,885; 89,79553248786]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[10,885; 2,91770774403]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 33,75441092253° = 33°45'15″ = 2,55224723115 rad
∠ B' = β' = 149,9965575304° = 149°59'44″ = 0,52436760011 rad
∠ C' = γ' = 176,25503154708° = 176°15'1″ = 0,06554443409 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 100 b = 90 c = 11, 77

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 100 + 90 + 11, 77 = 201, 77

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{2 0 1 , 7 7}{2} = 100, 89

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 100, 89 (100, 89 - 100) (100, 89 - 90) (100, 89 - 11, 77) S = 86606, 23 = 294, 29

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 2 9 4 , 2 9}{1 0 0} = 5, 89 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 2 9 4 , 2 9}{9 0} = 6, 54 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 2 9 4 , 2 9}{1 1 , 7 7} = 50, 01

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{9 0 ^{2} + 1 1 , 7 7 ^{2} - 1 0 0 ^{2}}{2 \cdot 9 0 \cdot 1 1 , 7 7}) = 146 ° 1 4^{'} 45 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 0 0 ^{2} + 1 1 , 7 7 ^{2} - 9 0 ^{2}}{2 \cdot 1 0 0 \cdot 1 1 , 7 7}) = 30 ° 16 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 146 ° 1 4^{'} 45 " - 30 ° 16 " = 3 ° 4 4^{'} 59 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{2 9 4 , 2 9}{1 0 0 , 8 9} = 2, 92

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 0 0 \cdot 9 0 \cdot 1 1 , 7 7}{4 \cdot 2 , 9 1 7 \cdot 1 0 0 , 8 8 5} = 89, 99

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 9 0 ^{2} + 2 \cdot 1 1 , 7 7 ^{2} - 1 0 0 ^{2}}{2} = 40, 24 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 1 , 7 7 ^{2} + 2 \cdot 1 0 0 ^{2} - 9 0 ^{2}}{2} = 55, 175 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 0 0 ^{2} + 2 \cdot 9 0 ^{2} - 1 1 , 7 7 ^{2}}{2} = 94, 949

Vypočítať ďaľší trojuholník