Výpočet trojuholníka SSS - výsledok

Tupouhlý rôznostranný trojuholník.

Dĺžky strán trojuholníka:
a = 100
b = 90
c = 161,44

Obsah trojuholníka: S = 4035,72105368932
Obvod trojuholníka: o = 351,44
Semiperimeter (poloobvod): s = 175,72

Uhol ∠ A = α = 33,74663378675° = 33°44'47″ = 0,58989847063 rad
Uhol ∠ B = β = 29,99877094999° = 29°59'52″ = 0,52435587988 rad
Uhol ∠ C = γ = 116,25659526327° = 116°15'21″ = 2,02990491485 rad

Výška trojuholníka na stranu a: v_a = 80,71444107379
Výška trojuholníka na stranu b: v_b = 89,68326785976
Výška trojuholníka na stranu c: v_c = 49,99765378703

Ťažnica: t_a = 120,75436202356
Ťažnica: t_b = 126,51765475343
Ťažnica: t_c = 50,34216487612

Polomer vpísanej kružnice: r = 22,96767683638
Polomer opísanej kružnice: R = 90,00662322649

Súradnice vrcholov: A[161,44; 0] B[0; 0] C[86,60545391477; 49,99765378703]
Ťažisko: T[82,68215130492; 16,66655126234]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[80,72; -39,8177125041]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[85,72; 22,96767683638]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 146,25436621325° = 146°15'13″ = 0,58989847063 rad
∠ B' = β' = 150,00222905001° = 150°8″ = 0,52435587988 rad
∠ C' = γ' = 63,74440473673° = 63°44'39″ = 2,02990491485 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 100 b = 90 c = 161, 44

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 100 + 90 + 161, 44 = 351, 44

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{3 5 1 , 4 4}{2} = 175, 72

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 175, 72 (175, 72 - 100) (175, 72 - 90) (175, 72 - 161, 44) S = 16287040, 25 = 4035, 72

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 4 0 3 5 , 7 2}{1 0 0} = 80, 71 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 4 0 3 5 , 7 2}{9 0} = 89, 68 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 4 0 3 5 , 7 2}{1 6 1 , 4 4} = 50

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{9 0 ^{2} + 1 6 1 , 4 4 ^{2} - 1 0 0 ^{2}}{2 \cdot 9 0 \cdot 1 6 1 , 4 4}) = 33 ° 4 4^{'} 47 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 0 0 ^{2} + 1 6 1 , 4 4 ^{2} - 9 0 ^{2}}{2 \cdot 1 0 0 \cdot 1 6 1 , 4 4}) = 29 ° 5 9^{'} 52 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 33 ° 4 4^{'} 47 " - 29 ° 5 9^{'} 52 " = 116 ° 1 5^{'} 21 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{4 0 3 5 , 7 2}{1 7 5 , 7 2} = 22, 97

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 0 0 \cdot 9 0 \cdot 1 6 1 , 4 4}{4 \cdot 2 2 , 9 6 7 \cdot 1 7 5 , 7 2} = 90, 01

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 9 0 ^{2} + 2 \cdot 1 6 1 , 4 4 ^{2} - 1 0 0 ^{2}}{2} = 120, 754 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 6 1 , 4 4 ^{2} + 2 \cdot 1 0 0 ^{2} - 9 0 ^{2}}{2} = 126, 517 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 0 0 ^{2} + 2 \cdot 9 0 ^{2} - 1 6 1 , 4 4 ^{2}}{2} = 50, 342

Vypočítať ďaľší trojuholník