Výpočet trojuholníka SSS - výsledok
Tupouhlý rôznostranný trojuholník.
Dĺžky strán trojuholníka:a = 102
b = 60
c = 119,94
Obsah trojuholníka: S = 3058,51224927453
Obvod trojuholníka: o = 281,94
Semiperimeter (poloobvod): s = 140,97
Uhol ∠ A = α = 58,21329538663° = 58°12'47″ = 1,01660077123 rad
Uhol ∠ B = β = 300,0004595932° = 30°2″ = 0,5243606797 rad
Uhol ∠ C = γ = 91,78765865405° = 91°47'12″ = 1,60219781443 rad
Výška trojuholníka na stranu a: va = 59,97108331911
Výška trojuholníka na stranu b: vb = 101,95504164248
Výška trojuholníka na stranu c: vc = 51,00107085667
Ťažnica: ta = 79,94987448307
Ťažnica: tb = 107,21438134757
Ťažnica: tc = 58,35875110847
Polomer vpísanej kružnice: r = 21,69661941743
Polomer opísanej kružnice: R = 59,99991664037
Súradnice vrcholov: A[119,94; 0] B[0; 0] C[88,3344182091; 51,00107085667]
Ťažisko: T[69,42547273637; 177,0002361889]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[59,97; -1,87105798935]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[80,97; 21,69661941743]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 121,78770461337° = 121°47'13″ = 1,01660077123 rad
∠ B' = β' = 1509,9995404068° = 149°59'58″ = 0,5243606797 rad
∠ C' = γ' = 88,21334134595° = 88°12'48″ = 1,60219781443 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=102 b=60 c=119,94
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=102+60+119,94=281,94
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=2281,94=140,97
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=140,97(140,97−102)(140,97−60)(140,97−119,94) S=9354498,67=3058,51
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=1022⋅ 3058,51=59,97 vb=b2 S=602⋅ 3058,51=101,95 vc=c2 S=119,942⋅ 3058,51=51
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 60⋅ 119,94602+119,942−1022)=58°12′47" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 102⋅ 119,941022+119,942−602)=30°2" γ=180°−α−β=180°−58°12′47"−30°2"=91°47′12"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=140,973058,51=21,7
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 21,696⋅ 140,97102⋅ 60⋅ 119,94=60
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 602+2⋅ 119,942−1022=79,949 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 119,942+2⋅ 1022−602=107,214 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 1022+2⋅ 602−119,942=58,358
Vypočítať ďaľší trojuholník