Výpočet trojuholníka SSS - výsledok

Tupouhlý rôznostranný trojuholník.

Dĺžky strán trojuholníka:
a = 11,2
b = 6,5
c = 8,3

Obsah trojuholníka: S = 26,73770529416
Obvod trojuholníka: o = 26
Semiperimeter (poloobvod): s = 13

Uhol ∠ A = α = 97,61658228711° = 97°36'57″ = 1,70437175111 rad
Uhol ∠ B = β = 35,11662871715° = 35°6'59″ = 0,61328948322 rad
Uhol ∠ C = γ = 47,26878899574° = 47°16'4″ = 0,82549803102 rad

Výška trojuholníka na stranu a: v_a = 4,77444737396
Výška trojuholníka na stranu b: v_b = 8,22767855205
Výška trojuholníka na stranu c: v_c = 6,44326633594

Ťažnica: t_a = 4,92203658401
Ťažnica: t_b = 9,30660464215
Ťažnica: t_c = 8,16222607162

Polomer vpísanej kružnice: r = 2,05766963801
Polomer opísanej kružnice: R = 5,65498373374

Súradnice vrcholov: A[8,3; 0] B[0; 0] C[9,16114457831; 6,44326633594]
Ťažisko: T[5,82204819277; 2,14875544531]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[4,15; 3,83438181932]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[6,5; 2,05766963801]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 82,38441771289° = 82°23'3″ = 1,70437175111 rad
∠ B' = β' = 144,88437128285° = 144°53'1″ = 0,61328948322 rad
∠ C' = γ' = 132,73221100426° = 132°43'56″ = 0,82549803102 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 11, 2 b = 6, 5 c = 8, 3

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 11, 2 + 6, 5 + 8, 3 = 26

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{2 6}{2} = 13

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 13 (13 - 11, 2) (13 - 6, 5) (13 - 8, 3) S = 714, 87 = 26, 74

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 2 6 , 7 4}{1 1 , 2} = 4, 77 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 2 6 , 7 4}{6 , 5} = 8, 23 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 2 6 , 7 4}{8 , 3} = 6, 44

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{6 , 5 ^{2} + 8 , 3 ^{2} - 1 1 , 2 ^{2}}{2 \cdot 6 , 5 \cdot 8 , 3}) = 97 ° 3 6^{'} 57 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 1 , 2 ^{2} + 8 , 3 ^{2} - 6 , 5 ^{2}}{2 \cdot 1 1 , 2 \cdot 8 , 3}) = 35 ° 6^{'} 59 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 97 ° 3 6^{'} 57 " - 35 ° 6^{'} 59 " = 47 ° 1 6^{'} 4 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{2 6 , 7 4}{1 3} = 2, 06

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 1 , 2 \cdot 6 , 5 \cdot 8 , 3}{4 \cdot 2 , 0 5 7 \cdot 1 3} = 5, 65

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 6 , 5 ^{2} + 2 \cdot 8 , 3 ^{2} - 1 1 , 2 ^{2}}{2} = 4, 92 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 8 , 3 ^{2} + 2 \cdot 1 1 , 2 ^{2} - 6 , 5 ^{2}}{2} = 9, 306 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 1 , 2 ^{2} + 2 \cdot 6 , 5 ^{2} - 8 , 3 ^{2}}{2} = 8, 162

Vypočítať ďaľší trojuholník