Výpočet trojuholníka SSS - výsledok

Tupouhlý rôznostranný trojuholník.

Dĺžky strán trojuholníka:
a = 11,31
b = 14
c = 18

Obsah trojuholníka: S = 79,17699972215
Obvod trojuholníka: o = 43,31
Semiperimeter (poloobvod): s = 21,655

Uhol ∠ A = α = 38,92772640302° = 38°55'38″ = 0,67994089261 rad
Uhol ∠ B = β = 51,05875562427° = 51°3'27″ = 0,89111224645 rad
Uhol ∠ C = γ = 90,0155179727° = 90°55″ = 1,5711061263 rad

Výška trojuholníka na stranu a: v_a = 143,9999995087
Výška trojuholníka na stranu b: v_b = 11,31099996031
Výška trojuholníka na stranu c: v_c = 8,79766663579

Ťažnica: t_a = 15.11003634062
Ťažnica: t_b = 13,30325580247
Ťažnica: t_c = 8,99876691426

Polomer vpísanej kružnice: r = 3,65659684702
Polomer opísanej kružnice: R = 99,0000003159

Súradnice vrcholov: A[18; 0] B[0; 0] C[7,10987805556; 8,79766663579]
Ťažisko: T[8,37695935185; 2,93222221193]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[9; -0,0022384426]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[7,655; 3,65659684702]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 141,07327359698° = 141°4'22″ = 0,67994089261 rad
∠ B' = β' = 128,94224437573° = 128°56'33″ = 0,89111224645 rad
∠ C' = γ' = 89,9854820273° = 89°59'5″ = 1,5711061263 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 11, 31 b = 14 c = 18

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 11, 31 + 14 + 18 = 43, 31

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{4 3 , 3 1}{2} = 21, 66

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 21, 66 (21, 66 - 11, 31) (21, 66 - 14) (21, 66 - 18) S = 6267, 89 = 79, 17

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 7 9 , 1 7}{1 1 , 3 1} = 14 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 7 9 , 1 7}{1 4} = 11, 31 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 7 9 , 1 7}{1 8} = 8, 8

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 4 ^{2} + 1 8 ^{2} - 1 1 , 3 1 ^{2}}{2 \cdot 1 4 \cdot 1 8}) = 38 ° 5 5^{'} 38 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 1 , 3 1 ^{2} + 1 8 ^{2} - 1 4 ^{2}}{2 \cdot 1 1 , 3 1 \cdot 1 8}) = 51 ° 3^{'} 27 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 38 ° 5 5^{'} 38 " - 51 ° 3^{'} 27 " = 90 ° 55 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{7 9 , 1 7}{2 1 , 6 6} = 3, 66

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 1 , 3 1 \cdot 1 4 \cdot 1 8}{4 \cdot 3 , 6 5 6 \cdot 2 1 , 6 5 5} = 9

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 4 ^{2} + 2 \cdot 1 8 ^{2} - 1 1 , 3 1 ^{2}}{2} = 15, 1 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 8 ^{2} + 2 \cdot 1 1 , 3 1 ^{2} - 1 4 ^{2}}{2} = 13, 303 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 1 , 3 1 ^{2} + 2 \cdot 1 4 ^{2} - 1 8 ^{2}}{2} = 8, 998

Vypočítať ďaľší trojuholník