Výpočet trojuholníka SSS - výsledok

Ostrouhlý rôznostranný trojuholník.

Dĺžky strán trojuholníka:
a = 115
b = 90
c = 119,89

Obsah trojuholníka: S = 4874,47656529788
Obvod trojuholníka: o = 324,89
Semiperimeter (poloobvod): s = 162,445

Uhol ∠ A = α = 64,62331988361° = 64°37'24″ = 1,12878875929 rad
Uhol ∠ B = β = 44,99989575819° = 44°59'56″ = 0,78553799698 rad
Uhol ∠ C = γ = 70,3787843582° = 70°22'40″ = 1,2288325091 rad

Výška trojuholníka na stranu a: v_a = 84,7733489617
Výška trojuholníka na stranu b: v_b = 108,32216811773
Výška trojuholníka na stranu c: v_c = 81,31658003666

Ťažnica: t_a = 89,05436694921
Ťažnica: t_b = 108,50994744711
Ťažnica: t_c = 84,07879220426

Polomer vpísanej kružnice: r = 30,00769294406
Polomer opísanej kružnice: R = 63,64107681738

Súradnice vrcholov: A[119,89; 0] B[0; 0] C[81,31987592793; 81,31658003666]
Ťažisko: T[67,07695864264; 27,10552667889]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[59,945; 21,37215780594]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[72,445; 30,00769294406]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 115,37768011639° = 115°22'36″ = 1,12878875929 rad
∠ B' = β' = 135,00110424181° = 135°4″ = 0,78553799698 rad
∠ C' = γ' = 109,6222156418° = 109°37'20″ = 1,2288325091 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 115 b = 90 c = 119, 89

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 115 + 90 + 119, 89 = 324, 89

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{3 2 4 , 8 9}{2} = 162, 45

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 162, 45 (162, 45 - 115) (162, 45 - 90) (162, 45 - 119, 89) S = 23760512, 89 = 4874, 48

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 4 8 7 4 , 4 8}{1 1 5} = 84, 77 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 4 8 7 4 , 4 8}{9 0} = 108, 32 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 4 8 7 4 , 4 8}{1 1 9 , 8 9} = 81, 32

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{9 0 ^{2} + 1 1 9 , 8 9 ^{2} - 1 1 5 ^{2}}{2 \cdot 9 0 \cdot 1 1 9 , 8 9}) = 64 ° 3 7^{'} 24 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 1 5 ^{2} + 1 1 9 , 8 9 ^{2} - 9 0 ^{2}}{2 \cdot 1 1 5 \cdot 1 1 9 , 8 9}) = 44 ° 5 9^{'} 56 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 64 ° 3 7^{'} 24 " - 44 ° 5 9^{'} 56 " = 70 ° 2 2^{'} 40 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{4 8 7 4 , 4 8}{1 6 2 , 4 5} = 30, 01

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 1 5 \cdot 9 0 \cdot 1 1 9 , 8 9}{4 \cdot 3 0 , 0 0 7 \cdot 1 6 2 , 4 4 5} = 63, 64

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 9 0 ^{2} + 2 \cdot 1 1 9 , 8 9 ^{2} - 1 1 5 ^{2}}{2} = 89, 054 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 1 9 , 8 9 ^{2} + 2 \cdot 1 1 5 ^{2} - 9 0 ^{2}}{2} = 108, 509 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 1 5 ^{2} + 2 \cdot 9 0 ^{2} - 1 1 9 , 8 9 ^{2}}{2} = 84, 078

Vypočítať ďaľší trojuholník