Výpočet trojuholníka SSS - výsledok

Ostrouhlý rôznostranný trojuholník.

Dĺžky strán trojuholníka:
a = 119
b = 111
c = 90

Obsah trojuholníka: S = 4743,50108169073
Obvod trojuholníka: o = 320
Semiperimeter (poloobvod): s = 160

Uhol ∠ A = α = 71,74109799509° = 71°44'28″ = 1,25221163088 rad
Uhol ∠ B = β = 62,35110950415° = 62°21'4″ = 1,08882319007 rad
Uhol ∠ C = γ = 45,90879250076° = 45°54'29″ = 0,80112444441 rad

Výška trojuholníka na stranu a: v_a = 79,72327028052
Výška trojuholníka na stranu b: v_b = 85,46884831875
Výška trojuholníka na stranu c: v_c = 105,41111292646

Ťažnica: t_a = 81,67215984905
Ťažnica: t_b = 89,72331854093
Ťažnica: t_c = 105,9065618359

Polomer vpísanej kružnice: r = 29,64768801057
Polomer opísanej kružnice: R = 62,65546745688

Súradnice vrcholov: A[90; 0] B[0; 0] C[55,22222222222; 105,41111292646]
Ťažisko: T[48,40774074074; 35,13770430882]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[45; 43,59659659294]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[49; 29,64768801057]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 108,25990200491° = 108°15'32″ = 1,25221163088 rad
∠ B' = β' = 117,64989049585° = 117°38'56″ = 1,08882319007 rad
∠ C' = γ' = 134,09220749925° = 134°5'31″ = 0,80112444441 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 119 b = 111 c = 90

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 119 + 111 + 90 = 320

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{3 2 0}{2} = 160

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 160 (160 - 119) (160 - 111) (160 - 90) S = 22500800 = 4743, 5

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 4 7 4 3 , 5}{1 1 9} = 79, 72 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 4 7 4 3 , 5}{1 1 1} = 85, 47 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 4 7 4 3 , 5}{9 0} = 105, 41

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 1 1 ^{2} + 9 0 ^{2} - 1 1 9 ^{2}}{2 \cdot 1 1 1 \cdot 9 0}) = 71 ° 4 4^{'} 28 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 1 9 ^{2} + 9 0 ^{2} - 1 1 1 ^{2}}{2 \cdot 1 1 9 \cdot 9 0}) = 62 ° 2 1^{'} 4 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 71 ° 4 4^{'} 28 " - 62 ° 2 1^{'} 4 " = 45 ° 5 4^{'} 29 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{4 7 4 3 , 5}{1 6 0} = 29, 65

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 1 9 \cdot 1 1 1 \cdot 9 0}{4 \cdot 2 9 , 6 4 7 \cdot 1 6 0} = 62, 65

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 1 1 ^{2} + 2 \cdot 9 0 ^{2} - 1 1 9 ^{2}}{2} = 81, 672 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 9 0 ^{2} + 2 \cdot 1 1 9 ^{2} - 1 1 1 ^{2}}{2} = 89, 723 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 1 9 ^{2} + 2 \cdot 1 1 1 ^{2} - 9 0 ^{2}}{2} = 105, 906

Vypočítať ďaľší trojuholník