Výpočet trojuholníka SSS - výsledok
Tupouhlý rovnoramenný trojuholník.
Dĺžky strán trojuholníka:a = 13
b = 13
c = 24
Obsah trojuholníka: S = 60
Obvod trojuholníka: o = 50
Semiperimeter (poloobvod): s = 25
Uhol ∠ A = α = 22,6219864948° = 22°37'11″ = 0,39547911197 rad
Uhol ∠ B = β = 22,6219864948° = 22°37'11″ = 0,39547911197 rad
Uhol ∠ C = γ = 134,76602701039° = 134°45'37″ = 2,35220104142 rad
Výška trojuholníka na stranu a: va = 9,23107692308
Výška trojuholníka na stranu b: vb = 9,23107692308
Výška trojuholníka na stranu c: vc = 5
Ťažnica: ta = 18,17327818454
Ťažnica: tb = 18,17327818454
Ťažnica: tc = 5
Polomer vpísanej kružnice: r = 2,4
Polomer opísanej kružnice: R = 16,9
Súradnice vrcholov: A[24; 0] B[0; 0] C[12; 5]
Ťažisko: T[12; 1,66766666667]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[12; -11,9]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[12; 2,4]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 157,3880135052° = 157°22'49″ = 0,39547911197 rad
∠ B' = β' = 157,3880135052° = 157°22'49″ = 0,39547911197 rad
∠ C' = γ' = 45,24397298961° = 45°14'23″ = 2,35220104142 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=13 b=13 c=24
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=13+13+24=50
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=250=25
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=25(25−13)(25−13)(25−24) S=3600=60
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=132⋅ 60=9,23 vb=b2 S=132⋅ 60=9,23 vc=c2 S=242⋅ 60=5
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 13⋅ 24132+242−132)=22°37′11" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 13⋅ 24132+242−132)=22°37′11" γ=180°−α−β=180°−22°37′11"−22°37′11"=134°45′37"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=2560=2,4
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 2,4⋅ 2513⋅ 13⋅ 24=16,9
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 132+2⋅ 242−132=18,173 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 242+2⋅ 132−132=18,173 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 132+2⋅ 132−242=5
Vypočítať ďaľší trojuholník