Výpočet trojuholníka SSS - výsledok
Ostrouhlý rôznostranný trojuholník.
Dĺžky strán trojuholníka:a = 13
b = 14
c = 12,21
Obsah trojuholníka: S = 73,26216561234
Obvod trojuholníka: o = 39,21
Semiperimeter (poloobvod): s = 19,605
Uhol ∠ A = α = 58,99994363342° = 58°59'58″ = 1,03297344209 rad
Uhol ∠ B = β = 67,38332438173° = 67°23' = 1,17660594653 rad
Uhol ∠ C = γ = 53,61773198485° = 53°37'2″ = 0,93657987675 rad
Výška trojuholníka na stranu a: va = 11,2711024019
Výška trojuholníka na stranu b: vb = 10,46659508748
Výška trojuholníka na stranu c: vc = 122,0002712733
Ťažnica: ta = 11,41545543058
Ťažnica: tb = 10,49900929453
Ťažnica: tc = 12,05110984976
Polomer vpísanej kružnice: r = 3,73768863108
Polomer opísanej kružnice: R = 7,58331619076
Súradnice vrcholov: A[12,21; 0] B[0; 0] C[4,99993488943; 122,0002712733]
Ťažisko: T[5,73664496314; 44,0000904244]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[6,105; 4,49881462311]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[5,605; 3,73768863108]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 121,00105636658° = 121°2″ = 1,03297344209 rad
∠ B' = β' = 112,61767561827° = 112°37' = 1,17660594653 rad
∠ C' = γ' = 126,38326801515° = 126°22'58″ = 0,93657987675 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=13 b=14 c=12,21
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=13+14+12,21=39,21
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=239,21=19,61
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=19,61(19,61−13)(19,61−14)(19,61−12,21) S=5367,27=73,26
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=132⋅ 73,26=11,27 vb=b2 S=142⋅ 73,26=10,47 vc=c2 S=12,212⋅ 73,26=12
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 14⋅ 12,21142+12,212−132)=58°59′58" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 13⋅ 12,21132+12,212−142)=67°23′ γ=180°−α−β=180°−58°59′58"−67°23′=53°37′2"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=19,6173,26=3,74
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 3,737⋅ 19,60513⋅ 14⋅ 12,21=7,58
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 142+2⋅ 12,212−132=11,415 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 12,212+2⋅ 132−142=10,49 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 132+2⋅ 142−12,212=12,051
Vypočítať ďaľší trojuholník