Výpočet trojuholníka SSS - výsledok

Tupouhlý rôznostranný trojuholník.

Dĺžky strán trojuholníka:
a = 13
b = 14
c = 2,21

Obsah trojuholníka: S = 13,25883430507
Obvod trojuholníka: o = 29,21
Semiperimeter (poloobvod): s = 14,605

Uhol ∠ A = α = 58,98553686438° = 58°59'7″ = 1,02994888933 rad
Uhol ∠ B = β = 112,63770417921° = 112°38'13″ = 1,9665887239 rad
Uhol ∠ C = γ = 8,37875895641° = 8°22'39″ = 0,14662165213 rad

Výška trojuholníka na stranu a: v_a = 2,04397450847
Výška trojuholníka na stranu b: v_b = 1,89440490072
Výška trojuholníka na stranu c: v_c = 11,99985004983

Ťažnica: t_a = 7,62883713858
Ťažnica: t_b = 6,16597118439
Ťažnica: t_c = 13,46439880793

Polomer vpísanej kružnice: r = 0,90877947998
Polomer opísanej kružnice: R = 7,58442810535

Súradnice vrcholov: A[2,21; 0] B[0; 0] C[-5,00435972851; 11,99985004983]
Ťažisko: T[-0,9311199095; 43,9995001661]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[1,105; 7,50333521908]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[0,605; 0,90877947998]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 121,01546313562° = 121°53″ = 1,02994888933 rad
∠ B' = β' = 67,36329582079° = 67°21'47″ = 1,9665887239 rad
∠ C' = γ' = 171,62224104359° = 171°37'21″ = 0,14662165213 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 13 b = 14 c = 2, 21

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 13 + 14 + 2, 21 = 29, 21

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{2 9 , 2 1}{2} = 14, 61

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 14, 61 (14, 61 - 13) (14, 61 - 14) (14, 61 - 2, 21) S = 175, 78 = 13, 26

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 1 3 , 2 6}{1 3} = 2, 04 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 1 3 , 2 6}{1 4} = 1, 89 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 1 3 , 2 6}{2 , 2 1} = 12

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 4 ^{2} + 2 , 2 1 ^{2} - 1 3 ^{2}}{2 \cdot 1 4 \cdot 2 , 2 1}) = 58 ° 5 9^{'} 7 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 3 ^{2} + 2 , 2 1 ^{2} - 1 4 ^{2}}{2 \cdot 1 3 \cdot 2 , 2 1}) = 112 ° 3 8^{'} 13 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 58 ° 5 9^{'} 7 " - 112 ° 3 8^{'} 13 " = 8 ° 2 2^{'} 39 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{1 3 , 2 6}{1 4 , 6 1} = 0, 91

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 3 \cdot 1 4 \cdot 2 , 2 1}{4 \cdot 0 , 9 0 8 \cdot 1 4 , 6 0 5} = 7, 58

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 4 ^{2} + 2 \cdot 2 , 2 1 ^{2} - 1 3 ^{2}}{2} = 7, 628 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 , 2 1 ^{2} + 2 \cdot 1 3 ^{2} - 1 4 ^{2}}{2} = 6, 16 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 3 ^{2} + 2 \cdot 1 4 ^{2} - 2 , 2 1 ^{2}}{2} = 13, 464

Vypočítať ďaľší trojuholník