Výpočet trojuholníka SSS - výsledok

Tupouhlý rôznostranný trojuholník.

Dĺžky strán trojuholníka:
a = 135
b = 90
c = 191,96

Obsah trojuholníka: S = 5475,75988941782
Obvod trojuholníka: o = 416,96
Semiperimeter (poloobvod): s = 208,48

Uhol ∠ A = α = 39,33884807562° = 39°20'19″ = 0,68765860119 rad
Uhol ∠ B = β = 24,99988646155° = 24°59'56″ = 0,43663124968 rad
Uhol ∠ C = γ = 115,66326546283° = 115°39'46″ = 2,01986941449 rad

Výška trojuholníka na stranu a: v_a = 81,12223539878
Výška trojuholníka na stranu b: v_b = 121,68435309817
Výška trojuholníka na stranu c: v_c = 57,05110407812

Ťažnica: t_a = 133,8588398317
Ťažnica: t_b = 159,72442022988
Ťažnica: t_c = 62,85217271044

Polomer vpísanej kružnice: r = 26,2655152025
Polomer opísanej kružnice: R = 106,4843596387

Súradnice vrcholov: A[191,96; 0] B[0; 0] C[122,35326818087; 57,05110407812]
Ťažisko: T[104,77108939362; 19,01770135937]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[95,98; -46,11550289982]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[118,48; 26,2655152025]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 140,66215192438° = 140°39'41″ = 0,68765860119 rad
∠ B' = β' = 155,00111353845° = 155°4″ = 0,43663124968 rad
∠ C' = γ' = 64,33773453717° = 64°20'14″ = 2,01986941449 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 135 b = 90 c = 191, 96

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 135 + 90 + 191, 96 = 416, 96

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{4 1 6 , 9 6}{2} = 208, 48

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 208, 48 (208, 48 - 135) (208, 48 - 90) (208, 48 - 191, 96) S = 29983935, 47 = 5475, 76

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 5 4 7 5 , 7 6}{1 3 5} = 81, 12 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 5 4 7 5 , 7 6}{9 0} = 121, 68 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 5 4 7 5 , 7 6}{1 9 1 , 9 6} = 57, 05

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{9 0 ^{2} + 1 9 1 , 9 6 ^{2} - 1 3 5 ^{2}}{2 \cdot 9 0 \cdot 1 9 1 , 9 6}) = 39 ° 2 0^{'} 19 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 3 5 ^{2} + 1 9 1 , 9 6 ^{2} - 9 0 ^{2}}{2 \cdot 1 3 5 \cdot 1 9 1 , 9 6}) = 24 ° 5 9^{'} 56 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 39 ° 2 0^{'} 19 " - 24 ° 5 9^{'} 56 " = 115 ° 3 9^{'} 46 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{5 4 7 5 , 7 6}{2 0 8 , 4 8} = 26, 27

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 3 5 \cdot 9 0 \cdot 1 9 1 , 9 6}{4 \cdot 2 6 , 2 6 5 \cdot 2 0 8 , 4 8} = 106, 48

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 9 0 ^{2} + 2 \cdot 1 9 1 , 9 6 ^{2} - 1 3 5 ^{2}}{2} = 133, 858 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 9 1 , 9 6 ^{2} + 2 \cdot 1 3 5 ^{2} - 9 0 ^{2}}{2} = 159, 724 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 3 5 ^{2} + 2 \cdot 9 0 ^{2} - 1 9 1 , 9 6 ^{2}}{2} = 62, 852

Vypočítať ďaľší trojuholník