Výpočet trojuholníka SSS - výsledok
Ostrouhlý rovnoramenný trojuholník.
Dĺžky strán trojuholníka:a = 14
b = 12
c = 12
Obsah trojuholníka: S = 68,22875604137
Obvod trojuholníka: o = 38
Semiperimeter (poloobvod): s = 19
Uhol ∠ A = α = 71,37106694253° = 71°22'14″ = 1,24656531708 rad
Uhol ∠ B = β = 54,31546652873° = 54°18'53″ = 0,94879697414 rad
Uhol ∠ C = γ = 54,31546652873° = 54°18'53″ = 0,94879697414 rad
Výška trojuholníka na stranu a: va = 9,74767943448
Výška trojuholníka na stranu b: vb = 11,37112600689
Výška trojuholníka na stranu c: vc = 11,37112600689
Ťažnica: ta = 9,74767943448
Ťažnica: tb = 11,57658369028
Ťažnica: tc = 11,57658369028
Polomer vpísanej kružnice: r = 3,59109242323
Polomer opísanej kružnice: R = 7,3877044135
Súradnice vrcholov: A[12; 0] B[0; 0] C[8,16766666667; 11,37112600689]
Ťažisko: T[6,72222222222; 3,7990420023]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[6; 4,30991090788]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[7; 3,59109242323]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 108,62993305747° = 108°37'46″ = 1,24656531708 rad
∠ B' = β' = 125,68553347127° = 125°41'7″ = 0,94879697414 rad
∠ C' = γ' = 125,68553347127° = 125°41'7″ = 0,94879697414 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=14 b=12 c=12
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=14+12+12=38
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=238=19
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=19(19−14)(19−12)(19−12) S=4655=68,23
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=142⋅ 68,23=9,75 vb=b2 S=122⋅ 68,23=11,37 vc=c2 S=122⋅ 68,23=11,37
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 12⋅ 12122+122−142)=71°22′14" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 14⋅ 12142+122−122)=54°18′53" γ=180°−α−β=180°−71°22′14"−54°18′53"=54°18′53"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=1968,23=3,59
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 3,591⋅ 1914⋅ 12⋅ 12=7,39
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 122+2⋅ 122−142=9,747 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 122+2⋅ 142−122=11,576 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 142+2⋅ 122−122=11,576
Vypočítať ďaľší trojuholník