Výpočet trojuholníka SSS - výsledok

Tupouhlý rôznostranný trojuholník.

Dĺžky strán trojuholníka:
a = 14
b = 20
c = 7,5

Obsah trojuholníka: S = 37,30877886473
Obvod trojuholníka: o = 41,5
Semiperimeter (poloobvod): s = 20,75

Uhol ∠ A = α = 29,8310589676° = 29°49'50″ = 0,52106420077 rad
Uhol ∠ B = β = 134,71442471775° = 134°42'51″ = 2,35112071626 rad
Uhol ∠ C = γ = 15,45551631465° = 15°27'19″ = 0,27697434833 rad

Výška trojuholníka na stranu a: v_a = 5,33296840925
Výška trojuholníka na stranu b: v_b = 3,73107788647
Výška trojuholníka na stranu c: v_c = 9,94987436393

Ťažnica: t_a = 13,38437588143
Ťažnica: t_b = 5,11112620751
Ťažnica: t_c = 16,8550445098

Polomer vpísanej kružnice: r = 1,79879657179
Polomer opísanej kružnice: R = 14,072212861

Súradnice vrcholov: A[7,5; 0] B[0; 0] C[-9,85; 9,94987436393]
Ťažisko: T[-0,78333333333; 3,31662478798]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[3,75; 13,5633270388]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[0,75; 1,79879657179]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 150,1699410324° = 150°10'10″ = 0,52106420077 rad
∠ B' = β' = 45,28657528225° = 45°17'9″ = 2,35112071626 rad
∠ C' = γ' = 164,54548368535° = 164°32'41″ = 0,27697434833 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 14 b = 20 c = 7, 5

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 14 + 20 + 7, 5 = 41, 5

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{4 1 , 5}{2} = 20, 75

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 20, 75 (20, 75 - 14) (20, 75 - 20) (20, 75 - 7, 5) S = 1391, 87 = 37, 31

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 3 7 , 3 1}{1 4} = 5, 33 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 3 7 , 3 1}{2 0} = 3, 73 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 3 7 , 3 1}{7 , 5} = 9, 95

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{2 0 ^{2} + 7 , 5 ^{2} - 1 4 ^{2}}{2 \cdot 2 0 \cdot 7 , 5}) = 29 ° 4 9^{'} 50 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 4 ^{2} + 7 , 5 ^{2} - 2 0 ^{2}}{2 \cdot 1 4 \cdot 7 , 5}) = 134 ° 4 2^{'} 51 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 29 ° 4 9^{'} 50 " - 134 ° 4 2^{'} 51 " = 15 ° 2 7^{'} 19 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{3 7 , 3 1}{2 0 , 7 5} = 1, 8

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 4 \cdot 2 0 \cdot 7 , 5}{4 \cdot 1 , 7 9 8 \cdot 2 0 , 7 5} = 14, 07

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 0 ^{2} + 2 \cdot 7 , 5 ^{2} - 1 4 ^{2}}{2} = 13, 384 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 7 , 5 ^{2} + 2 \cdot 1 4 ^{2} - 2 0 ^{2}}{2} = 5, 111 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 4 ^{2} + 2 \cdot 2 0 ^{2} - 7 , 5 ^{2}}{2} = 16, 85

Vypočítať ďaľší trojuholník