Výpočet trojuholníka SSS - výsledok

Tupouhlý rôznostranný trojuholník.

Dĺžky strán trojuholníka:
a = 14,73
b = 6378,1
c = 6378,12

Obsah trojuholníka: S = 46974,7065531703
Obvod trojuholníka: o = 12770,95
Semiperimeter (poloobvod): s = 6385,475

Uhol ∠ A = α = 0,13223223089° = 0°7'56″ = 0,002230946 rad
Uhol ∠ B = β = 89,85660441966° = 89°51'22″ = 1,5688283824 rad
Uhol ∠ C = γ = 90,01216334944° = 90°42″ = 1,57109993696 rad

Výška trojuholníka na stranu a: v_a = 6378.10998685273
Výška trojuholníka na stranu b: v_b = 14,73299996964
Výška trojuholníka na stranu c: v_c = 14,73299535072

Ťažnica: t_a = 6378,10657477103
Ťažnica: t_b = 3189,08770090278
Ťažnica: t_c = 3189,05770091878

Polomer vpísanej kružnice: r = 7,35664935313
Polomer opísanej kružnice: R = 3189,06600657354

Súradnice vrcholov: A[6378,12; 0] B[0; 0] C[0,03770091265; 14,73299535072]
Ťažisko: T[2126,05223363755; 4,91099845024]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[3189,06; -0,64875156214]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[7,375; 7,35664935313]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 179,86876776911° = 179°52'4″ = 0,002230946 rad
∠ B' = β' = 90,14439558034° = 90°8'38″ = 1,5688283824 rad
∠ C' = γ' = 89,98883665056° = 89°59'18″ = 1,57109993696 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 14, 73 b = 6378, 1 c = 6378, 12

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 14, 73 + 6378, 1 + 6378, 12 = 12770, 95

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{1 2 7 7 0 , 9 5}{2} = 6385, 48

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 6385, 48 (6385, 48 - 14, 73) (6385, 48 - 6378, 1) (6385, 48 - 6378, 12) S = 2206622959, 79 = 46974, 71

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 4 6 9 7 4 , 7 1}{1 4 , 7 3} = 6378, 1 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 4 6 9 7 4 , 7 1}{6 3 7 8 , 1} = 14, 73 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 4 6 9 7 4 , 7 1}{6 3 7 8 , 1 2} = 14, 73

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{6 3 7 8 , 1 ^{2} + 6 3 7 8 , 1 2 ^{2} - 1 4 , 7 3 ^{2}}{2 \cdot 6 3 7 8 , 1 \cdot 6 3 7 8 , 1 2}) = 0 ° 7^{'} 56 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 4 , 7 3 ^{2} + 6 3 7 8 , 1 2 ^{2} - 6 3 7 8 , 1 ^{2}}{2 \cdot 1 4 , 7 3 \cdot 6 3 7 8 , 1 2}) = 89 ° 5 1^{'} 22 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 0 ° 7^{'} 56 " - 89 ° 5 1^{'} 22 " = 90 ° 42 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{4 6 9 7 4 , 7 1}{6 3 8 5 , 4 8} = 7, 36

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 4 , 7 3 \cdot 6 3 7 8 , 1 \cdot 6 3 7 8 , 1 2}{4 \cdot 7 , 3 5 6 \cdot 6 3 8 5 , 4 7 5} = 3189, 06

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 6 3 7 8 , 1 ^{2} + 2 \cdot 6 3 7 8 , 1 2 ^{2} - 1 4 , 7 3 ^{2}}{2} = 6378, 106 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 6 3 7 8 , 1 2 ^{2} + 2 \cdot 1 4 , 7 3 ^{2} - 6 3 7 8 , 1 ^{2}}{2} = 3189, 087 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 4 , 7 3 ^{2} + 2 \cdot 6 3 7 8 , 1 ^{2} - 6 3 7 8 , 1 2 ^{2}}{2} = 3189, 057

Vypočítať ďaľší trojuholník