Výpočet trojuholníka SSS - výsledok

Ostrouhlý rôznostranný trojuholník.

Dĺžky strán trojuholníka:
a = 14,97
b = 13
c = 11,52

Obsah trojuholníka: S = 72,32326260887
Obvod trojuholníka: o = 39,49
Semiperimeter (poloobvod): s = 19,745

Uhol ∠ A = α = 74,9832567881° = 74°58'57″ = 1,30986926911 rad
Uhol ∠ B = β = 57,00878227746° = 57°28″ = 0,99549742068 rad
Uhol ∠ C = γ = 48,01096093443° = 48°35″ = 0,83879257557 rad

Výška trojuholníka na stranu a: v_a = 9,66223414948
Výška trojuholníka na stranu b: v_b = 11,12765578598
Výška trojuholníka na stranu c: v_c = 12,55660114737

Ťažnica: t_a = 9,73880683403
Ťažnica: t_b = 11,66985753201
Ťažnica: t_c = 12,78217389271

Polomer vpísanej kružnice: r = 3,66328324178
Polomer opísanej kružnice: R = 7,75496743455

Súradnice vrcholov: A[11,52; 0] B[0; 0] C[8,15215321181; 12,55660114737]
Ťažisko: T[6,55771773727; 4,18553371579]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[5,76; 5,18545783302]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[6,745; 3,66328324178]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 105,0177432119° = 105°1'3″ = 1,30986926911 rad
∠ B' = β' = 122,99221772254° = 122°59'32″ = 0,99549742068 rad
∠ C' = γ' = 131,99903906557° = 131°59'25″ = 0,83879257557 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 14, 97 b = 13 c = 11, 52

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 14, 97 + 13 + 11, 52 = 39, 49

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{3 9 , 4 9}{2} = 19, 75

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 7 2 , 3 2}{1 4 , 9 7} = 9, 66 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 7 2 , 3 2}{1 3} = 11, 13 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 7 2 , 3 2}{1 1 , 5 2} = 12, 56

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 3 ^{2} + 1 1 , 5 2 ^{2} - 1 4 , 9 7 ^{2}}{2 \cdot 1 3 \cdot 1 1 , 5 2}) = 74 ° 5 8^{'} 57 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 4 , 9 7 ^{2} + 1 1 , 5 2 ^{2} - 1 3 ^{2}}{2 \cdot 1 4 , 9 7 \cdot 1 1 , 5 2}) = 57 ° 28 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 74 ° 5 8^{'} 57 " - 57 ° 28 " = 48 ° 35 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{7 2 , 3 2}{1 9 , 7 5} = 3, 66

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 4 , 9 7 \cdot 1 3 \cdot 1 1 , 5 2}{4 \cdot 3 , 6 6 3 \cdot 1 9 , 7 4 5} = 7, 75

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

Vypočítať ďaľší trojuholník