Výpočet trojuholníka SSS - výsledok

Pravouhlý rovnoramenný trojuholník.

Dĺžky strán trojuholníka:
a = 140
b = 140
c = 197,99

Obsah trojuholníka: S = 98009,9999999949
Obvod trojuholníka: o = 477,99
Semiperimeter (poloobvod): s = 238,995

Uhol ∠ A = α = 454,9999706944° = 45° = 0,78553976519 rad
Uhol ∠ B = β = 454,9999706944° = 45° = 0,78553976519 rad
Uhol ∠ C = γ = 900,0000586112° = 90° = 1,57107973498 rad

Výška trojuholníka na stranu a: v_a = 1409,9999999999
Výška trojuholníka na stranu b: v_b = 1409,9999999999
Výška trojuholníka na stranu c: v_c = 98,99548987322

Ťažnica: t_a = 156,52548224723
Ťažnica: t_b = 156,52548224723
Ťažnica: t_c = 98,99548987322

Polomer vpísanej kružnice: r = 41,00550419465
Polomer opísanej kružnice: R = 98,99550000001

Súradnice vrcholov: A[197,99; 0] B[0; 0] C[98,995; 98,99548987322]
Ťažisko: T[98,995; 32,99882995774]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[98,995; -00,0001012678]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[98,995; 41,00550419465]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 1355,0000293056° = 135° = 0,78553976519 rad
∠ B' = β' = 1355,0000293056° = 135° = 0,78553976519 rad
∠ C' = γ' = 909,9999413888° = 90° = 1,57107973498 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 140 b = 140 c = 197, 99

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 140 + 140 + 197, 99 = 477, 99

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{4 7 7 , 9 9}{2} = 239

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 239 (239 - 140) (239 - 140) (239 - 197, 99) S = 96040000 = 9800

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 9 8 0 0}{1 4 0} = 140 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 9 8 0 0}{1 4 0} = 140 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 9 8 0 0}{1 9 7 , 9 9} = 98, 99

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 4 0 ^{2} + 1 9 7 , 9 9 ^{2} - 1 4 0 ^{2}}{2 \cdot 1 4 0 \cdot 1 9 7 , 9 9}) = 45 ° b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 4 0 ^{2} + 1 9 7 , 9 9 ^{2} - 1 4 0 ^{2}}{2 \cdot 1 4 0 \cdot 1 9 7 , 9 9}) = 45 ° γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 45 ° - 45 ° = 90 °

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{9 8 0 0}{2 3 9} = 41, 01

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 4 0 \cdot 1 4 0 \cdot 1 9 7 , 9 9}{4 \cdot 4 1 , 0 0 5 \cdot 2 3 8 , 9 9 5} = 99

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 4 0 ^{2} + 2 \cdot 1 9 7 , 9 9 ^{2} - 1 4 0 ^{2}}{2} = 156, 525 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 9 7 , 9 9 ^{2} + 2 \cdot 1 4 0 ^{2} - 1 4 0 ^{2}}{2} = 156, 525 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 4 0 ^{2} + 2 \cdot 1 4 0 ^{2} - 1 9 7 , 9 9 ^{2}}{2} = 98, 995

Vypočítať ďaľší trojuholník