Výpočet trojuholníka SSS - výsledok
Ostrouhlý rovnoramenný trojuholník.
Dĺžky strán trojuholníka:a = 15
b = 15
c = 8
Obsah trojuholníka: S = 57,82773291792
Obvod trojuholníka: o = 38
Semiperimeter (poloobvod): s = 19
Uhol ∠ A = α = 74,53439900466° = 74°32'2″ = 1,3010863531 rad
Uhol ∠ B = β = 74,53439900466° = 74°32'2″ = 1,3010863531 rad
Uhol ∠ C = γ = 30,93220199068° = 30°55'55″ = 0,54398655917 rad
Výška trojuholníka na stranu a: va = 7,71103105572
Výška trojuholníka na stranu b: vb = 7,71103105572
Výška trojuholníka na stranu c: vc = 14,45768322948
Ťažnica: ta = 9,3944147114
Ťažnica: tb = 9,3944147114
Ťažnica: tc = 14,45768322948
Polomer vpísanej kružnice: r = 3,0443543641
Polomer opísanej kružnice: R = 7,78217877185
Súradnice vrcholov: A[8; 0] B[0; 0] C[4; 14,45768322948]
Ťažisko: T[4; 4,81989440983]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[4; 6,67550445763]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[4; 3,0443543641]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 105,46660099534° = 105°27'58″ = 1,3010863531 rad
∠ B' = β' = 105,46660099534° = 105°27'58″ = 1,3010863531 rad
∠ C' = γ' = 149,06879800932° = 149°4'5″ = 0,54398655917 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=15 b=15 c=8
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=15+15+8=38
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=238=19
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=19(19−15)(19−15)(19−8) S=3344=57,83
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=152⋅ 57,83=7,71 vb=b2 S=152⋅ 57,83=7,71 vc=c2 S=82⋅ 57,83=14,46
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 15⋅ 8152+82−152)=74°32′2" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 15⋅ 8152+82−152)=74°32′2" γ=180°−α−β=180°−74°32′2"−74°32′2"=30°55′55"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=1957,83=3,04
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 3,044⋅ 1915⋅ 15⋅ 8=7,78
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 152+2⋅ 82−152=9,394 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 82+2⋅ 152−152=9,394 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 152+2⋅ 152−82=14,457
Vypočítať ďaľší trojuholník