Výpočet trojuholníka SSS - výsledok

Ostrouhlý rôznostranný trojuholník.

Dĺžky strán trojuholníka:
a = 18
b = 27,66
c = 33

Obsah trojuholníka: S = 248,94399992825
Obvod trojuholníka: o = 78,66
Semiperimeter (poloobvod): s = 39,33

Uhol ∠ A = α = 33,05657310434° = 33°3'21″ = 0,57769313434 rad
Uhol ∠ B = β = 56,94986189616° = 56°56'55″ = 0,99439409053 rad
Uhol ∠ C = γ = 89,9965649995° = 89°59'44″ = 1,57107204049 rad

Výška trojuholníka na stranu a: v_a = 27,66599999203
Výška trojuholníka na stranu b: v_b = 187,9999999481
Výška trojuholníka na stranu c: v_c = 15,08772726838

Ťažnica: t_a = 29,08767289326
Ťažnica: t_b = 22,69987026061
Ťažnica: t_c = 16,50111454148

Polomer vpísanej kružnice: r = 6,33295194326
Polomer opísanej kružnice: R = 16.55000000476

Súradnice vrcholov: A[33; 0] B[0; 0] C[9,81770363636; 15,08772726838]
Ťažisko: T[14,27223454545; 5,02990908946]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[16,5; 0,00112527115]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[11,67; 6,33295194326]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 146,94442689566° = 146°56'39″ = 0,57769313434 rad
∠ B' = β' = 123,05113810384° = 123°3'5″ = 0,99439409053 rad
∠ C' = γ' = 90,0044350005° = 90°16″ = 1,57107204049 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 18 b = 27, 66 c = 33

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 18 + 27, 66 + 33 = 78, 66

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{7 8 , 6 6}{2} = 39, 33

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 39, 33 (39, 33 - 18) (39, 33 - 27, 66) (39, 33 - 33) S = 61971, 12 = 248, 94

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 2 4 8 , 9 4}{1 8} = 27, 66 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 2 4 8 , 9 4}{2 7 , 6 6} = 18 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 2 4 8 , 9 4}{3 3} = 15, 09

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{2 7 , 6 6 ^{2} + 3 3 ^{2} - 1 8 ^{2}}{2 \cdot 2 7 , 6 6 \cdot 3 3}) = 33 ° 3^{'} 21 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 8 ^{2} + 3 3 ^{2} - 2 7 , 6 6 ^{2}}{2 \cdot 1 8 \cdot 3 3}) = 56 ° 5 6^{'} 55 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 33 ° 3^{'} 21 " - 56 ° 5 6^{'} 55 " = 89 ° 5 9^{'} 44 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{2 4 8 , 9 4}{3 9 , 3 3} = 6, 33

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 8 \cdot 2 7 , 6 6 \cdot 3 3}{4 \cdot 6 , 3 3 \cdot 3 9 , 3 3} = 16, 5

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 7 , 6 6 ^{2} + 2 \cdot 3 3 ^{2} - 1 8 ^{2}}{2} = 29, 087 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 3 3 ^{2} + 2 \cdot 1 8 ^{2} - 2 7 , 6 6 ^{2}}{2} = 22, 699 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 8 ^{2} + 2 \cdot 2 7 , 6 6 ^{2} - 3 3 ^{2}}{2} = 16, 501

Vypočítať ďaľší trojuholník