Výpočet trojuholníka SSS - výsledok

Tupouhlý rôznostranný trojuholník.

Dĺžky strán trojuholníka:
a = 18,41
b = 14,86
c = 6,51

Obsah trojuholníka: S = 44,51102771512
Obvod trojuholníka: o = 39,78
Semiperimeter (poloobvod): s = 19,89

Uhol ∠ A = α = 113,04220978079° = 113°2'32″ = 1,97329568001 rad
Uhol ∠ B = β = 47,96880848668° = 47°58'5″ = 0,83772010168 rad
Uhol ∠ C = γ = 18,99898173252° = 18°59'23″ = 0,33114348367 rad

Výška trojuholníka na stranu a: v_a = 4,83554456438
Výška trojuholníka na stranu b: v_b = 5,99106160365
Výška trojuholníka na stranu c: v_c = 13,67444323045

Ťažnica: t_a = 6,84660079608
Ťažnica: t_b = 11,63882644754
Ťažnica: t_c = 16,41097173955

Polomer vpísanej kružnice: r = 2,23878218779
Polomer opísanej kružnice: R = 10,00330697402

Súradnice vrcholov: A[6,51; 0] B[0; 0] C[12,32663133641; 13,67444323045]
Ťažisko: T[6,27987711214; 4,55881441015]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[3,255; 9,45986668843]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[5,03; 2,23878218779]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 66,95879021921° = 66°57'28″ = 1,97329568001 rad
∠ B' = β' = 132,03219151332° = 132°1'55″ = 0,83772010168 rad
∠ C' = γ' = 161,01101826748° = 161°37″ = 0,33114348367 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 18, 41 b = 14, 86 c = 6, 51

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 18, 41 + 14, 86 + 6, 51 = 39, 78

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{3 9 , 7 8}{2} = 19, 89

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 19, 89 (19, 89 - 18, 41) (19, 89 - 14, 86) (19, 89 - 6, 51) S = 1981, 16 = 44, 51

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 4 4 , 5 1}{1 8 , 4 1} = 4, 84 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 4 4 , 5 1}{1 4 , 8 6} = 5, 99 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 4 4 , 5 1}{6 , 5 1} = 13, 67

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 4 , 8 6 ^{2} + 6 , 5 1 ^{2} - 1 8 , 4 1 ^{2}}{2 \cdot 1 4 , 8 6 \cdot 6 , 5 1}) = 113 ° 2^{'} 32 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 8 , 4 1 ^{2} + 6 , 5 1 ^{2} - 1 4 , 8 6 ^{2}}{2 \cdot 1 8 , 4 1 \cdot 6 , 5 1}) = 47 ° 5 8^{'} 5 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 113 ° 2^{'} 32 " - 47 ° 5 8^{'} 5 " = 18 ° 5 9^{'} 23 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{4 4 , 5 1}{1 9 , 8 9} = 2, 24

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 8 , 4 1 \cdot 1 4 , 8 6 \cdot 6 , 5 1}{4 \cdot 2 , 2 3 8 \cdot 1 9 , 8 9} = 10

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 4 , 8 6 ^{2} + 2 \cdot 6 , 5 1 ^{2} - 1 8 , 4 1 ^{2}}{2} = 6, 846 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 6 , 5 1 ^{2} + 2 \cdot 1 8 , 4 1 ^{2} - 1 4 , 8 6 ^{2}}{2} = 11, 638 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 8 , 4 1 ^{2} + 2 \cdot 1 4 , 8 6 ^{2} - 6 , 5 1 ^{2}}{2} = 16, 41

Vypočítať ďaľší trojuholník