Výpočet trojuholníka SSS - výsledok
Tupouhlý rôznostranný trojuholník.
Dĺžky strán trojuholníka:a = 2
b = 3,46
c = 4
Obsah trojuholníka: S = 3,46599927153
Obvod trojuholníka: o = 9,46
Semiperimeter (poloobvod): s = 4,73
Uhol ∠ A = α = 309,9999303539° = 30° = 0,524359756 rad
Uhol ∠ B = β = 59,88224972993° = 59°52'57″ = 1,04551467422 rad
Uhol ∠ C = γ = 90,11875723468° = 90°7'3″ = 1,57328483514 rad
Výška trojuholníka na stranu a: va = 3,46599927153
Výška trojuholníka na stranu b: vb = 21,9999957892
Výška trojuholníka na stranu c: vc = 1,73299963577
Ťažnica: ta = 3,60435815517
Ťažnica: tb = 2,64770927449
Ťažnica: tc = 1,99664468438
Polomer vpísanej kružnice: r = 0,7311499517
Polomer opísanej kružnice: R = 22,0000042108
Súradnice vrcholov: A[4; 0] B[0; 0] C[1,004355; 1,73299963577]
Ťažisko: T[1,668785; 0,57766654526]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[2; -0,00441040549]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[1,27; 0,7311499517]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 1500,0000696461° = 150° = 0,524359756 rad
∠ B' = β' = 120,11875027007° = 120°7'3″ = 1,04551467422 rad
∠ C' = γ' = 89,88224276532° = 89°52'57″ = 1,57328483514 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=2 b=3,46 c=4
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=2+3,46+4=9,46
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=29,46=4,73
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=4,73(4,73−2)(4,73−3,46)(4,73−4) S=11,97=3,46
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=22⋅ 3,46=3,46 vb=b2 S=3,462⋅ 3,46=2 vc=c2 S=42⋅ 3,46=1,73
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 3,46⋅ 43,462+42−22)=30° b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 2⋅ 422+42−3,462)=59°52′57" γ=180°−α−β=180°−30°−59°52′57"=90°7′3"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=4,733,46=0,73
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 0,731⋅ 4,732⋅ 3,46⋅ 4=2
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 3,462+2⋅ 42−22=3,604 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 42+2⋅ 22−3,462=2,647 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 22+2⋅ 3,462−42=1,996
Vypočítať ďaľší trojuholník