Výpočet trojuholníka SSS - výsledok
Tupouhlý rôznostranný trojuholník.
Dĺžky strán trojuholníka:a = 2
b = 7
c = 7,61
Obsah trojuholníka: S = 6,89114406766
Obvod trojuholníka: o = 16,61
Semiperimeter (poloobvod): s = 8,305
Uhol ∠ A = α = 14,9955090368° = 14°59'42″ = 0,26217136986 rad
Uhol ∠ B = β = 64,90111025069° = 64°54'4″ = 1,13327379269 rad
Uhol ∠ C = γ = 100,10438071251° = 100°6'14″ = 1,74771410281 rad
Výška trojuholníka na stranu a: va = 6,89114406766
Výška trojuholníka na stranu b: vb = 1,96989830505
Výška trojuholníka na stranu c: vc = 1,81111539229
Ťažnica: ta = 7,24326549
Ťažnica: tb = 4,32550491327
Ťažnica: tc = 3,46772719824
Polomer vpísanej kružnice: r = 0,83297941814
Polomer opísanej kružnice: R = 3,86549393138
Súradnice vrcholov: A[7,61; 0] B[0; 0] C[0,84883639947; 1,81111539229]
Ťažisko: T[2,81994546649; 0,60437179743]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[3,805; -0,67880345858]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[1,305; 0,83297941814]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 165,0054909632° = 165°18″ = 0,26217136986 rad
∠ B' = β' = 115,09988974931° = 115°5'56″ = 1,13327379269 rad
∠ C' = γ' = 79,89661928749° = 79°53'46″ = 1,74771410281 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=2 b=7 c=7,61
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=2+7+7,61=16,61
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=216,61=8,31
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=8,31(8,31−2)(8,31−7)(8,31−7,61) S=47,49=6,89
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=22⋅ 6,89=6,89 vb=b2 S=72⋅ 6,89=1,97 vc=c2 S=7,612⋅ 6,89=1,81
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 7⋅ 7,6172+7,612−22)=14°59′42" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 2⋅ 7,6122+7,612−72)=64°54′4" γ=180°−α−β=180°−14°59′42"−64°54′4"=100°6′14"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=8,316,89=0,83
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 0,83⋅ 8,3052⋅ 7⋅ 7,61=3,86
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 72+2⋅ 7,612−22=7,243 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 7,612+2⋅ 22−72=4,325 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 22+2⋅ 72−7,612=3,467
Vypočítať ďaľší trojuholník