Výpočet trojuholníka SSS - výsledok

Ostrouhlý rovnoramenný trojuholník.

Dĺžky strán trojuholníka:
a = 2,25
b = 2,25
c = 3,18

Obsah trojuholníka: S = 2,531124804
Obvod trojuholníka: o = 7,68
Semiperimeter (poloobvod): s = 3,84

Uhol ∠ A = α = 45,03656507165° = 45°2'8″ = 0,78660203858 rad
Uhol ∠ B = β = 45,03656507165° = 45°2'8″ = 0,78660203858 rad
Uhol ∠ C = γ = 89,92986985671° = 89°55'43″ = 1,5769551882 rad

Výška trojuholníka na stranu a: v_a = 2,25499982578
Výška trojuholníka na stranu b: v_b = 2,25499982578
Výška trojuholníka na stranu c: v_c = 1,59219798994

Ťažnica: t_a = 2,51443239648
Ťažnica: t_b = 2,51443239648
Ťažnica: t_c = 1,59219798994

Polomer vpísanej kružnice: r = 0,65991791771
Polomer opísanej kružnice: R = 1,59900012312

Súradnice vrcholov: A[3,18; 0] B[0; 0] C[1,59; 1,59219798994]
Ťažisko: T[1,59; 0,53106599665]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[1,59; 0,00219786682]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[1,59; 0,65991791771]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 134,96443492836° = 134°57'52″ = 0,78660203858 rad
∠ B' = β' = 134,96443492836° = 134°57'52″ = 0,78660203858 rad
∠ C' = γ' = 90,07113014329° = 90°4'17″ = 1,5769551882 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 2, 25 b = 2, 25 c = 3, 18

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 2, 25 + 2, 25 + 3, 18 = 7, 68

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{7 , 6 8}{2} = 3, 84

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 3, 84 (3, 84 - 2, 25) (3, 84 - 2, 25) (3, 84 - 3, 18) S = 6, 41 = 2, 53

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 2 , 5 3}{2 , 2 5} = 2, 25 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 2 , 5 3}{2 , 2 5} = 2, 25 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 2 , 5 3}{3 , 1 8} = 1, 59

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{2 , 2 5 ^{2} + 3 , 1 8 ^{2} - 2 , 2 5 ^{2}}{2 \cdot 2 , 2 5 \cdot 3 , 1 8}) = 45 ° 2^{'} 8 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{2 , 2 5 ^{2} + 3 , 1 8 ^{2} - 2 , 2 5 ^{2}}{2 \cdot 2 , 2 5 \cdot 3 , 1 8}) = 45 ° 2^{'} 8 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 45 ° 2^{'} 8 " - 45 ° 2^{'} 8 " = 89 ° 5 5^{'} 43 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{2 , 5 3}{3 , 8 4} = 0, 66

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{2 , 2 5 \cdot 2 , 2 5 \cdot 3 , 1 8}{4 \cdot 0 , 6 5 9 \cdot 3 , 8 4} = 1, 59

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

Vypočítať ďaľší trojuholník