Výpočet trojuholníka SSS - výsledok

Ostrouhlý rôznostranný trojuholník.

Dĺžky strán trojuholníka:
a = 2,87
b = 4,1
c = 5

Obsah trojuholníka: S = 5,88334883168
Obvod trojuholníka: o = 11,97
Semiperimeter (poloobvod): s = 5,985

Uhol ∠ A = α = 35,03295518702° = 35°1'46″ = 0,61113810156 rad
Uhol ∠ B = β = 55,08546307523° = 55°5'5″ = 0,96114081739 rad
Uhol ∠ C = γ = 89,88658173775° = 89°53'9″ = 1,56988034641 rad

Výška trojuholníka na stranu a: v_a = 4.10999918584
Výška trojuholníka na stranu b: v_b = 2,87699943009
Výška trojuholníka na stranu c: v_c = 2,35333953267

Ťažnica: t_a = 4,34111720768
Ťažnica: t_b = 3,52436273923
Ťažnica: t_c = 2,5054685609

Polomer vpísanej kružnice: r = 0,98330389836
Polomer opísanej kružnice: R = 2.55000049644

Súradnice vrcholov: A[5; 0] B[0; 0] C[1,643269; 2,35333953267]
Ťažisko: T[2,214423; 0,78444651089]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[2,5; 0,00549821634]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[1,885; 0,98330389836]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 144,97704481298° = 144°58'14″ = 0,61113810156 rad
∠ B' = β' = 124,91553692477° = 124°54'55″ = 0,96114081739 rad
∠ C' = γ' = 90,11441826225° = 90°6'51″ = 1,56988034641 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 2, 87 b = 4, 1 c = 5

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 2, 87 + 4, 1 + 5 = 11, 97

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{1 1 , 9 7}{2} = 5, 99

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 5, 99 (5, 99 - 2, 87) (5, 99 - 4, 1) (5, 99 - 5) S = 34, 62 = 5, 88

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 5 , 8 8}{2 , 8 7} = 4, 1 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 5 , 8 8}{4 , 1} = 2, 87 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 5 , 8 8}{5} = 2, 35

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{4 , 1 ^{2} + 5 ^{2} - 2 , 8 7 ^{2}}{2 \cdot 4 , 1 \cdot 5}) = 35 ° 1^{'} 46 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{2 , 8 7 ^{2} + 5 ^{2} - 4 , 1 ^{2}}{2 \cdot 2 , 8 7 \cdot 5}) = 55 ° 5^{'} 5 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 35 ° 1^{'} 46 " - 55 ° 5^{'} 5 " = 89 ° 5 3^{'} 9 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{5 , 8 8}{5 , 9 9} = 0, 98

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{2 , 8 7 \cdot 4 , 1 \cdot 5}{4 \cdot 0 , 9 8 3 \cdot 5 , 9 8 5} = 2, 5

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 4 , 1 ^{2} + 2 \cdot 5 ^{2} - 2 , 8 7 ^{2}}{2} = 4, 341 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 5 ^{2} + 2 \cdot 2 , 8 7 ^{2} - 4 , 1 ^{2}}{2} = 3, 524 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 , 8 7 ^{2} + 2 \cdot 4 , 1 ^{2} - 5 ^{2}}{2} = 2, 505

Vypočítať ďaľší trojuholník