Výpočet trojuholníka SSS - výsledok

Tupouhlý rôznostranný trojuholník.

Strany: a = 2,94 b = 1,29 c = 2,16

Obsah trojuholníka: S = 1,26774276762
Obvod trojuholníka: o = 6,39
Semiperimeter (poloobvod): s = 3,195

Uhol ∠ A = α = 114,53327420516° = 114°31'58″ = 1,99989734501 rad
Uhol ∠ B = β = 23,52659686628° = 23°31'33″ = 0,41106056129 rad
Uhol ∠ C = γ = 41,94112892856° = 41°56'29″ = 0,73220135906 rad

Výška trojuholníka: v_a = 0,86221956981
Výška trojuholníka: v_b = 1,96550041491
Výška trojuholníka: v_c = 1,17435441446

Ťažnica: t_a = 1,00219730535
Ťažnica: t_b = 2,49877139548
Ťažnica: t_c = 1,99768600352

Polomer vpísanej kružnice: r = 0,39766909785
Polomer opísanej kružnice: R = 1,61658744506

Súradnice vrcholov: A[2,16; 0] B[0; 0] C[2,6965625; 1,17435441446]
Ťažisko: T[1,61985416667; 0,39111813815]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[1,08; 1,20219360383]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[1,905; 0,39766909785]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 65,46772579484° = 65°28'2″ = 1,99989734501 rad
∠ B' = β' = 156,47440313372° = 156°28'27″ = 0,41106056129 rad
∠ C' = γ' = 138,05987107144° = 138°3'31″ = 0,73220135906 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 2, 94 b = 1, 29 c = 2, 16

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 2, 94 + 1, 29 + 2, 16 = 6, 39

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{6 , 3 9}{2} = 3, 2

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 3, 2 (3, 2 - 2, 94) (3, 2 - 1, 29) (3, 2 - 2, 16) S = 1, 61 = 1, 27

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 1 , 2 7}{2 , 9 4} = 0, 86 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 1 , 2 7}{1 , 2 9} = 1, 97 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 1 , 2 7}{2 , 1 6} = 1, 17

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 , 2 9 ^{2} + 2 , 1 6 ^{2} - 2 , 9 4 ^{2}}{2 \cdot 1 , 2 9 \cdot 2 , 1 6}) = 114 ° 3 1^{'} 58 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{2 , 9 4 ^{2} + 2 , 1 6 ^{2} - 1 , 2 9 ^{2}}{2 \cdot 2 , 9 4 \cdot 2 , 1 6}) = 23 ° 3 1^{'} 33 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 114 ° 3 1^{'} 58 " - 23 ° 3 1^{'} 33 " = 41 ° 5 6^{'} 29 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{1 , 2 7}{3 , 2} = 0, 4

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{2 , 9 4 \cdot 1 , 2 9 \cdot 2 , 1 6}{4 \cdot 0 , 3 9 7 \cdot 3 , 1 9 5} = 1, 62

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 , 2 9 ^{2} + 2 \cdot 2 , 1 6 ^{2} - 2 , 9 4 ^{2}}{2} = 1, 002 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 , 1 6 ^{2} + 2 \cdot 2 , 9 4 ^{2} - 1 , 2 9 ^{2}}{2} = 2, 498 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 , 9 4 ^{2} + 2 \cdot 1 , 2 9 ^{2} - 2 , 1 6 ^{2}}{2} = 1, 997

Vypočítať ďaľší trojuholník