Výpočet trojuholníka SSS - výsledok

Tupouhlý rôznostranný trojuholník.

Dĺžky strán trojuholníka:
a = 20,86
b = 55,31
c = 68,06

Obsah trojuholníka: S = 501,87550553601
Obvod trojuholníka: o = 144,23
Semiperimeter (poloobvod): s = 72,115

Uhol ∠ A = α = 15,46545962963° = 15°27'53″ = 0,27699081229 rad
Uhol ∠ B = β = 44,99113408914° = 44°59'29″ = 0,78552470334 rad
Uhol ∠ C = γ = 119,54440628123° = 119°32'39″ = 2,08664374973 rad

Výška trojuholníka na stranu a: v_a = 48,1188413745
Výška trojuholníka na stranu b: v_b = 18,14877148928
Výška trojuholníka na stranu c: v_c = 14,74880180829

Ťažnica: t_a = 61,1330147636
Ťažnica: t_b = 42,05877290756
Ťažnica: t_c = 24,27219374999

Polomer vpísanej kružnice: r = 6,95993712176
Polomer opísanej kružnice: R = 39,11659881116

Súradnice vrcholov: A[68,06; 0] B[0; 0] C[14,75224764913; 14,74880180829]
Ťažisko: T[27,60441588304; 4,91660060276]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[34,03; -19,28878102943]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[16,805; 6,95993712176]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 164,53554037037° = 164°32'7″ = 0,27699081229 rad
∠ B' = β' = 135,00986591086° = 135°31″ = 0,78552470334 rad
∠ C' = γ' = 60,45659371878° = 60°27'21″ = 2,08664374973 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 20, 86 b = 55, 31 c = 68, 06

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 20, 86 + 55, 31 + 68, 06 = 144, 23

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{1 4 4 , 2 3}{2} = 72, 12

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 72, 12 (72, 12 - 20, 86) (72, 12 - 55, 31) (72, 12 - 68, 06) S = 251878, 57 = 501, 88

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 5 0 1 , 8 8}{2 0 , 8 6} = 48, 12 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 5 0 1 , 8 8}{5 5 , 3 1} = 18, 15 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 5 0 1 , 8 8}{6 8 , 0 6} = 14, 75

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{5 5 , 3 1 ^{2} + 6 8 , 0 6 ^{2} - 2 0 , 8 6 ^{2}}{2 \cdot 5 5 , 3 1 \cdot 6 8 , 0 6}) = 15 ° 2 7^{'} 53 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{2 0 , 8 6 ^{2} + 6 8 , 0 6 ^{2} - 5 5 , 3 1 ^{2}}{2 \cdot 2 0 , 8 6 \cdot 6 8 , 0 6}) = 44 ° 5 9^{'} 29 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 15 ° 2 7^{'} 53 " - 44 ° 5 9^{'} 29 " = 119 ° 3 2^{'} 39 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{5 0 1 , 8 8}{7 2 , 1 2} = 6, 96

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{2 0 , 8 6 \cdot 5 5 , 3 1 \cdot 6 8 , 0 6}{4 \cdot 6 , 9 5 9 \cdot 7 2 , 1 1 5} = 39, 12

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 5 5 , 3 1 ^{2} + 2 \cdot 6 8 , 0 6 ^{2} - 2 0 , 8 6 ^{2}}{2} = 61, 13 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 6 8 , 0 6 ^{2} + 2 \cdot 2 0 , 8 6 ^{2} - 5 5 , 3 1 ^{2}}{2} = 42, 058 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 0 , 8 6 ^{2} + 2 \cdot 5 5 , 3 1 ^{2} - 6 8 , 0 6 ^{2}}{2} = 24, 272

Vypočítať ďaľší trojuholník