Výpočet trojuholníka SSS - výsledok

Tupouhlý rôznostranný trojuholník.

Dĺžky strán trojuholníka:
a = 200
b = 190
c = 13,31

Obsah trojuholníka: S = 855,92769148207
Obvod trojuholníka: o = 403,31
Semiperimeter (poloobvod): s = 201,655

Uhol ∠ A = α = 137,39768546074° = 137°23'49″ = 2,39880274948 rad
Uhol ∠ B = β = 40,02111663294° = 40°1'16″ = 0,69985011229 rad
Uhol ∠ C = γ = 2,58219790632° = 2°34'55″ = 0,04550640359 rad

Výška trojuholníka na stranu a: v_a = 8,55992691482
Výška trojuholníka na stranu b: v_b = 9,01097569981
Výška trojuholníka na stranu c: v_c = 128,6144111919

Ťažnica: t_a = 90,21440679163
Ťažnica: t_b = 105,1843544578
Ťažnica: t_c = 194,95105346876

Polomer vpísanej kružnice: r = 4,24545112436
Polomer opísanej kružnice: R = 147,72987345573

Súradnice vrcholov: A[13,31; 0] B[0; 0] C[153,16113861758; 128,6144111919]
Ťažisko: T[55,49904620586; 42,87113706397]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[6,655; 147,57987585966]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[11,655; 4,24545112436]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 42,60331453926° = 42°36'11″ = 2,39880274948 rad
∠ B' = β' = 139,97988336706° = 139°58'44″ = 0,69985011229 rad
∠ C' = γ' = 177,41880209368° = 177°25'5″ = 0,04550640359 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 200 b = 190 c = 13, 31

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 200 + 190 + 13, 31 = 403, 31

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{4 0 3 , 3 1}{2} = 201, 66

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 201, 66 (201, 66 - 200) (201, 66 - 190) (201, 66 - 13, 31) S = 732610, 88 = 855, 93

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 8 5 5 , 9 3}{2 0 0} = 8, 56 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 8 5 5 , 9 3}{1 9 0} = 9, 01 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 8 5 5 , 9 3}{1 3 , 3 1} = 128, 61

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 9 0 ^{2} + 1 3 , 3 1 ^{2} - 2 0 0 ^{2}}{2 \cdot 1 9 0 \cdot 1 3 , 3 1}) = 137 ° 2 3^{'} 49 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{2 0 0 ^{2} + 1 3 , 3 1 ^{2} - 1 9 0 ^{2}}{2 \cdot 2 0 0 \cdot 1 3 , 3 1}) = 40 ° 1^{'} 16 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 137 ° 2 3^{'} 49 " - 40 ° 1^{'} 16 " = 2 ° 3 4^{'} 55 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{8 5 5 , 9 3}{2 0 1 , 6 6} = 4, 24

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{2 0 0 \cdot 1 9 0 \cdot 1 3 , 3 1}{4 \cdot 4 , 2 4 5 \cdot 2 0 1 , 6 5 5} = 147, 73

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 9 0 ^{2} + 2 \cdot 1 3 , 3 1 ^{2} - 2 0 0 ^{2}}{2} = 90, 214 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 3 , 3 1 ^{2} + 2 \cdot 2 0 0 ^{2} - 1 9 0 ^{2}}{2} = 105, 184 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 0 0 ^{2} + 2 \cdot 1 9 0 ^{2} - 1 3 , 3 1 ^{2}}{2} = 194, 951

Vypočítať ďaľší trojuholník