Výpočet trojuholníka SSS - výsledok

Tupouhlý rôznostranný trojuholník.

Dĺžky strán trojuholníka:
a = 200
b = 190
c = 293,11

Obsah trojuholníka: S = 18840,9399077814
Obvod trojuholníka: o = 683,11
Semiperimeter (poloobvod): s = 341,555

Uhol ∠ A = α = 42,58105003255° = 42°34'50″ = 0,74331699278 rad
Uhol ∠ B = β = 400,0004885349° = 40°2″ = 0,69881402273 rad
Uhol ∠ C = γ = 97,41990111395° = 97°25'8″ = 1.77002824984 rad

Výška trojuholníka na stranu a: v_a = 188,40993907781
Výška trojuholníka na stranu b: v_b = 198,32656745033
Výška trojuholníka na stranu c: v_c = 128,55988282748

Ťažnica: t_a = 225,84767091857
Ťažnica: t_b = 232,23220736892
Ťažnica: t_c = 128,73108509061

Polomer vpísanej kružnice: r = 55,16222405698
Polomer opísanej kružnice: R = 147,79222617604

Súradnice vrcholov: A[293,11; 0] B[0; 0] C[153,2087792467; 128,55988282748]
Ťažisko: T[148,7732597489; 42,85329427583]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[146,555; -19,08436215445]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[151,555; 55,16222405698]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 137,41994996745° = 137°25'10″ = 0,74331699278 rad
∠ B' = β' = 1409,9995114651° = 139°59'58″ = 0,69881402273 rad
∠ C' = γ' = 82,58109888605° = 82°34'52″ = 1.77002824984 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 200 b = 190 c = 293, 11

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 200 + 190 + 293, 11 = 683, 11

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{6 8 3 , 1 1}{2} = 341, 56

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 341, 56 (341, 56 - 200) (341, 56 - 190) (341, 56 - 293, 11) S = 354980985, 33 = 18840, 94

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 1 8 8 4 0 , 9 4}{2 0 0} = 188, 41 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 1 8 8 4 0 , 9 4}{1 9 0} = 198, 33 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 1 8 8 4 0 , 9 4}{2 9 3 , 1 1} = 128, 56

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 9 0 ^{2} + 2 9 3 , 1 1 ^{2} - 2 0 0 ^{2}}{2 \cdot 1 9 0 \cdot 2 9 3 , 1 1}) = 42 ° 3 4^{'} 50 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{2 0 0 ^{2} + 2 9 3 , 1 1 ^{2} - 1 9 0 ^{2}}{2 \cdot 2 0 0 \cdot 2 9 3 , 1 1}) = 40 ° 2 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 42 ° 3 4^{'} 50 " - 40 ° 2 " = 97 ° 2 5^{'} 8 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{1 8 8 4 0 , 9 4}{3 4 1 , 5 6} = 55, 16

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{2 0 0 \cdot 1 9 0 \cdot 2 9 3 , 1 1}{4 \cdot 5 5 , 1 6 2 \cdot 3 4 1 , 5 5 5} = 147, 79

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 9 0 ^{2} + 2 \cdot 2 9 3 , 1 1 ^{2} - 2 0 0 ^{2}}{2} = 225, 847 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 9 3 , 1 1 ^{2} + 2 \cdot 2 0 0 ^{2} - 1 9 0 ^{2}}{2} = 232, 232 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 0 0 ^{2} + 2 \cdot 1 9 0 ^{2} - 2 9 3 , 1 1 ^{2}}{2} = 128, 731

Vypočítať ďaľší trojuholník