Výpočet trojuholníka SSS - výsledok

Tupouhlý rôznostranný trojuholník.

Dĺžky strán trojuholníka:
a = 22
b = 9
c = 23,9

Obsah trojuholníka: S = 98,98878262401
Obvod trojuholníka: o = 54,9
Semiperimeter (poloobvod): s = 27,45

Uhol ∠ A = α = 66,98330028931° = 66°58'59″ = 1,16990739434 rad
Uhol ∠ B = β = 22,11884582794° = 22°7'6″ = 0,38660399224 rad
Uhol ∠ C = γ = 90,89985388275° = 90°53'55″ = 1,58664787878 rad

Výška trojuholníka na stranu a: v_a = 8,99988932946
Výška trojuholníka na stranu b: v_b = 21,997729472
Výška trojuholníka na stranu c: v_c = 8,28435001038

Ťažnica: t_a = 14,32114873529
Ťažnica: t_b = 22,52545421707
Ťažnica: t_c = 11,81993696955

Polomer vpísanej kružnice: r = 3,60661138885
Polomer opísanej kružnice: R = 11,95114696396

Súradnice vrcholov: A[23,9; 0] B[0; 0] C[20,38109623431; 8,28435001038]
Ťažisko: T[14,7660320781; 2,76111667013]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[11,95; -0,18774207739]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[18,45; 3,60661138885]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 113,01769971069° = 113°1'1″ = 1,16990739434 rad
∠ B' = β' = 157,88215417206° = 157°52'54″ = 0,38660399224 rad
∠ C' = γ' = 89,10114611725° = 89°6'5″ = 1,58664787878 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 22 b = 9 c = 23, 9

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 22 + 9 + 23, 9 = 54, 9

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{5 4 , 9}{2} = 27, 45

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 9 8 , 9 9}{2 2} = 9 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 9 8 , 9 9}{9} = 22 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 9 8 , 9 9}{2 3 , 9} = 8, 28

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{9 ^{2} + 2 3 , 9 ^{2} - 2 2 ^{2}}{2 \cdot 9 \cdot 2 3 , 9}) = 66 ° 5 8^{'} 59 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{2 2 ^{2} + 2 3 , 9 ^{2} - 9 ^{2}}{2 \cdot 2 2 \cdot 2 3 , 9}) = 22 ° 7^{'} 6 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 66 ° 5 8^{'} 59 " - 22 ° 7^{'} 6 " = 90 ° 5 3^{'} 55 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{9 8 , 9 9}{2 7 , 4 5} = 3, 61

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{2 2 \cdot 9 \cdot 2 3 , 9}{4 \cdot 3 , 6 0 6 \cdot 2 7 , 4 5} = 11, 95

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

Vypočítať ďaľší trojuholník