Výpočet trojuholníka SSS - výsledok
Tupouhlý rovnoramenný trojuholník.
Dĺžky strán trojuholníka:a = 23,1
b = 23,1
c = 37,8
Obsah trojuholníka: S = 251,02216006642
Obvod trojuholníka: o = 84
Semiperimeter (poloobvod): s = 42
Uhol ∠ A = α = 35,09768012276° = 35°5'48″ = 0,61325547383 rad
Uhol ∠ B = β = 35,09768012276° = 35°5'48″ = 0,61325547383 rad
Uhol ∠ C = γ = 109,80663975448° = 109°48'23″ = 1,91664831769 rad
Výška trojuholníka na stranu a: va = 21,7333471919
Výška trojuholníka na stranu b: vb = 21,7333471919
Výška trojuholníka na stranu c: vc = 13,28215661727
Ťažnica: ta = 29,11773917101
Ťažnica: tb = 29,11773917101
Ťažnica: tc = 13,28215661727
Polomer vpísanej kružnice: r = 5,97767047777
Polomer opísanej kružnice: R = 20,08883688362
Súradnice vrcholov: A[37,8; 0] B[0; 0] C[18,9; 13,28215661727]
Ťažisko: T[18,9; 4,42771887242]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[18,9; -6,80768026635]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[18,9; 5,97767047777]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 144,90331987724° = 144°54'12″ = 0,61325547383 rad
∠ B' = β' = 144,90331987724° = 144°54'12″ = 0,61325547383 rad
∠ C' = γ' = 70,19436024552° = 70°11'37″ = 1,91664831769 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=23,1 b=23,1 c=37,8
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=23,1+23,1+37,8=84
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=284=42
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=42(42−23,1)(42−23,1)(42−37,8) S=63011,84=251,02
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=23,12⋅ 251,02=21,73 vb=b2 S=23,12⋅ 251,02=21,73 vc=c2 S=37,82⋅ 251,02=13,28
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 23,1⋅ 37,823,12+37,82−23,12)=35°5′48" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 23,1⋅ 37,823,12+37,82−23,12)=35°5′48" γ=180°−α−β=180°−35°5′48"−35°5′48"=109°48′23"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=42251,02=5,98
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 5,977⋅ 4223,1⋅ 23,1⋅ 37,8=20,09
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 23,12+2⋅ 37,82−23,12=29,117 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 37,82+2⋅ 23,12−23,12=29,117 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 23,12+2⋅ 23,12−37,82=13,282
Vypočítať ďaľší trojuholník