Výpočet trojuholníka SSS - výsledok
Tupouhlý rôznostranný trojuholník.
Dĺžky strán trojuholníka:a = 24
b = 12
c = 30
Obsah trojuholníka: S = 136,78881573821
Obvod trojuholníka: o = 66
Semiperimeter (poloobvod): s = 33
Uhol ∠ A = α = 49,45883981265° = 49°27'30″ = 0,86332118901 rad
Uhol ∠ B = β = 22,33216450092° = 22°19'54″ = 0,39897607328 rad
Uhol ∠ C = γ = 108,21099568643° = 108°12'36″ = 1,88986200307 rad
Výška trojuholníka na stranu a: va = 11,39990131152
Výška trojuholníka na stranu b: vb = 22,79880262304
Výška trojuholníka na stranu c: vc = 9,11992104921
Ťažnica: ta = 19,44222220952
Ťažnica: tb = 26,4955282599
Ťažnica: tc = 11,61989500386
Polomer vpísanej kružnice: r = 4,14550956782
Polomer opísanej kružnice: R = 15,7910840679
Súradnice vrcholov: A[30; 0] B[0; 0] C[22,2; 9,11992104921]
Ťažisko: T[17,4; 3,04397368307]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[15; -4,93546377122]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[21; 4,14550956782]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 130,54216018735° = 130°32'30″ = 0,86332118901 rad
∠ B' = β' = 157,66883549908° = 157°40'6″ = 0,39897607328 rad
∠ C' = γ' = 71,79900431357° = 71°47'24″ = 1,88986200307 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=24 b=12 c=30
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=24+12+30=66
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=266=33
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=33(33−24)(33−12)(33−30) S=18711=136,79
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=242⋅ 136,79=11,4 vb=b2 S=122⋅ 136,79=22,8 vc=c2 S=302⋅ 136,79=9,12
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 12⋅ 30122+302−242)=49°27′30" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 24⋅ 30242+302−122)=22°19′54" γ=180°−α−β=180°−49°27′30"−22°19′54"=108°12′36"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=33136,79=4,15
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 4,145⋅ 3324⋅ 12⋅ 30=15,79
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 122+2⋅ 302−242=19,442 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 302+2⋅ 242−122=26,495 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 242+2⋅ 122−302=11,619
Vypočítať ďaľší trojuholník