Výpočet trojuholníka SSS - výsledok

Tupouhlý rôznostranný trojuholník.

Dĺžky strán trojuholníka:
a = 24
b = 15
c = 17

Obsah trojuholníka: S = 126,55443361565
Obvod trojuholníka: o = 56
Semiperimeter (poloobvod): s = 28

Uhol ∠ A = α = 96,98326411751° = 96°58'58″ = 1,69326664058 rad
Uhol ∠ B = β = 38,34327492605° = 38°20'34″ = 0,66992072189 rad
Uhol ∠ C = γ = 44,67546095644° = 44°40'29″ = 0,78797190289 rad

Výška trojuholníka na stranu a: v_a = 10,54661946797
Výška trojuholníka na stranu b: v_b = 16,87439114875
Výška trojuholníka na stranu c: v_c = 14,88987454302

Ťažnica: t_a = 10,63301458127
Ťažnica: t_b = 19,39771647413
Ťažnica: t_c = 18,1187670932

Polomer vpísanej kružnice: r = 4,52197977199
Polomer opísanej kružnice: R = 12,09896687262

Súradnice vrcholov: A[17; 0] B[0; 0] C[18,82435294118; 14,88987454302]
Ťažisko: T[11,94111764706; 4,96329151434]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[8,5; 8,59770977609]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[13; 4,52197977199]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 83,01773588249° = 83°1'2″ = 1,69326664058 rad
∠ B' = β' = 141,65772507395° = 141°39'26″ = 0,66992072189 rad
∠ C' = γ' = 135,32553904356° = 135°19'31″ = 0,78797190289 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 24 b = 15 c = 17

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 24 + 15 + 17 = 56

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{5 6}{2} = 28

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 28 (28 - 24) (28 - 15) (28 - 17) S = 16016 = 126, 55

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 1 2 6 , 5 5}{2 4} = 10, 55 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 1 2 6 , 5 5}{1 5} = 16, 87 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 1 2 6 , 5 5}{1 7} = 14, 89

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 5 ^{2} + 1 7 ^{2} - 2 4 ^{2}}{2 \cdot 1 5 \cdot 1 7}) = 96 ° 5 8^{'} 58 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{2 4 ^{2} + 1 7 ^{2} - 1 5 ^{2}}{2 \cdot 2 4 \cdot 1 7}) = 38 ° 2 0^{'} 34 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 96 ° 5 8^{'} 58 " - 38 ° 2 0^{'} 34 " = 44 ° 4 0^{'} 29 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{1 2 6 , 5 5}{2 8} = 4, 52

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{2 4 \cdot 1 5 \cdot 1 7}{4 \cdot 4 , 5 2 \cdot 2 8} = 12, 09

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 5 ^{2} + 2 \cdot 1 7 ^{2} - 2 4 ^{2}}{2} = 10, 63 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 7 ^{2} + 2 \cdot 2 4 ^{2} - 1 5 ^{2}}{2} = 19, 397 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 4 ^{2} + 2 \cdot 1 5 ^{2} - 1 7 ^{2}}{2} = 18, 118

Vypočítať ďaľší trojuholník