Výpočet trojuholníka SSS - výsledok

Pravouhlý rôznostranný Pytagorejský trojuholník.

Dĺžky strán trojuholníka:
a = 24
b = 32
c = 40

Obsah trojuholníka: S = 384
Obvod trojuholníka: o = 96
Semiperimeter (poloobvod): s = 48

Uhol ∠ A = α = 36,87698976458° = 36°52'12″ = 0,64435011088 rad
Uhol ∠ B = β = 53,13301023542° = 53°7'48″ = 0,9277295218 rad
Uhol ∠ C = γ = 90° = 1,57107963268 rad

Výška trojuholníka na stranu a: v_a = 32
Výška trojuholníka na stranu b: v_b = 24
Výška trojuholníka na stranu c: v_c = 19,2

Ťažnica: t_a = 34,17660149813
Ťažnica: t_b = 28,84444102037
Ťažnica: t_c = 20

Polomer vpísanej kružnice: r = 8
Polomer opísanej kružnice: R = 20

Súradnice vrcholov: A[40; 0] B[0; 0] C[14,4; 19,2]
Ťažisko: T[18,13333333333; 6,4]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[20; 0]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[16; 8]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 143,13301023542° = 143°7'48″ = 0,64435011088 rad
∠ B' = β' = 126,87698976458° = 126°52'12″ = 0,9277295218 rad
∠ C' = γ' = 90° = 1,57107963268 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 24 b = 32 c = 40

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 24 + 32 + 40 = 96

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{9 6}{2} = 48

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 48 (48 - 24) (48 - 32) (48 - 40) S = 147456 = 384

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 3 8 4}{2 4} = 32 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 3 8 4}{3 2} = 24 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 3 8 4}{4 0} = 19, 2

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{3 2 ^{2} + 4 0 ^{2} - 2 4 ^{2}}{2 \cdot 3 2 \cdot 4 0}) = 36 ° 5 2^{'} 12 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{2 4 ^{2} + 4 0 ^{2} - 3 2 ^{2}}{2 \cdot 2 4 \cdot 4 0}) = 53 ° 7^{'} 48 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 36 ° 5 2^{'} 12 " - 53 ° 7^{'} 48 " = 90 °

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{3 8 4}{4 8} = 8

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{2 4 \cdot 3 2 \cdot 4 0}{4 \cdot 8 \cdot 4 8} = 20

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 3 2 ^{2} + 2 \cdot 4 0 ^{2} - 2 4 ^{2}}{2} = 34, 176 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 4 0 ^{2} + 2 \cdot 2 4 ^{2} - 3 2 ^{2}}{2} = 28, 844 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 4 ^{2} + 2 \cdot 3 2 ^{2} - 4 0 ^{2}}{2} = 20

Vypočítať ďaľší trojuholník