Výpočet trojuholníka SSS - výsledok

Tupouhlý rôznostranný trojuholník.

Dĺžky strán trojuholníka:
a = 244
b = 246
c = 346,49

Obsah trojuholníka: S = 300121,999988522
Obvod trojuholníka: o = 836,49
Semiperimeter (poloobvod): s = 418,245

Uhol ∠ A = α = 44,76553551431° = 44°45'55″ = 0,78113028381 rad
Uhol ∠ B = β = 45,23330602598° = 45°13'59″ = 0,78994658323 rad
Uhol ∠ C = γ = 90,00215845971° = 90°6″ = 1,57108239832 rad

Výška trojuholníka na stranu a: v_a = 2465,9999999059
Výška trojuholníka na stranu b: v_b = 2443,9999999067
Výška trojuholníka na stranu c: v_c = 173,2344436714

Ťažnica: t_a = 274,5943627111
Ťažnica: t_b = 273,25220083183
Ťažnica: t_c = 173,24402088864

Polomer vpísanej kružnice: r = 71,75769845151
Polomer opísanej kružnice: R = 173,24550000663

Súradnice vrcholov: A[346,49; 0] B[0; 0] C[171,83108177725; 173,2344436714]
Ťažisko: T[172,77436059242; 57,7454812238]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[173,245; -0,00547913395]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[172,245; 71,75769845151]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 135,23546448569° = 135°14'5″ = 0,78113028381 rad
∠ B' = β' = 134,76769397402° = 134°46'1″ = 0,78994658323 rad
∠ C' = γ' = 89,99884154029° = 89°59'54″ = 1,57108239832 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 244 b = 246 c = 346, 49

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 244 + 246 + 346, 49 = 836, 49

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{8 3 6 , 4 9}{2} = 418, 25

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 418, 25 (418, 25 - 244) (418, 25 - 246) (418, 25 - 346, 49) S = 900720143, 31 = 30012

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 3 0 0 1 2}{2 4 4} = 246 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 3 0 0 1 2}{2 4 6} = 244 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 3 0 0 1 2}{3 4 6 , 4 9} = 173, 23

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{2 4 6 ^{2} + 3 4 6 , 4 9 ^{2} - 2 4 4 ^{2}}{2 \cdot 2 4 6 \cdot 3 4 6 , 4 9}) = 44 ° 4 5^{'} 55 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{2 4 4 ^{2} + 3 4 6 , 4 9 ^{2} - 2 4 6 ^{2}}{2 \cdot 2 4 4 \cdot 3 4 6 , 4 9}) = 45 ° 1 3^{'} 59 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 44 ° 4 5^{'} 55 " - 45 ° 1 3^{'} 59 " = 90 ° 6 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{3 0 0 1 2}{4 1 8 , 2 5} = 71, 76

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{2 4 4 \cdot 2 4 6 \cdot 3 4 6 , 4 9}{4 \cdot 7 1 , 7 5 7 \cdot 4 1 8 , 2 4 5} = 173, 25

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 4 6 ^{2} + 2 \cdot 3 4 6 , 4 9 ^{2} - 2 4 4 ^{2}}{2} = 274, 594 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 3 4 6 , 4 9 ^{2} + 2 \cdot 2 4 4 ^{2} - 2 4 6 ^{2}}{2} = 273, 252 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 4 4 ^{2} + 2 \cdot 2 4 6 ^{2} - 3 4 6 , 4 9 ^{2}}{2} = 173, 24

Vypočítať ďaľší trojuholník