Výpočet trojuholníka SSS - výsledok

Tupouhlý rôznostranný trojuholník.

Dĺžky strán trojuholníka:
a = 26
b = 24,94
c = 36,03

Obsah trojuholníka: S = 324,22199976151
Obvod trojuholníka: o = 86,97
Semiperimeter (poloobvod): s = 43,485

Uhol ∠ A = α = 46,18884647981° = 46°11'18″ = 0,80661407872 rad
Uhol ∠ B = β = 43,80545857338° = 43°48'17″ = 0,76545342485 rad
Uhol ∠ C = γ = 90,00769494681° = 90°25″ = 1,57109176179 rad

Výška trojuholníka na stranu a: v_a = 24,94399998165
Výška trojuholníka na stranu b: v_b = 265,9999998088
Výška trojuholníka na stranu c: v_c = 17,99772244027

Ťažnica: t_a = 28,12661844195
Ťažnica: t_b = 28,83771210422
Ťažnica: t_c = 18,01328169646

Polomer vpísanej kružnice: r = 7,456590428
Polomer opísanej kružnice: R = 18,01550001325

Súradnice vrcholov: A[36,03; 0] B[0; 0] C[18,7644325562; 17,99772244027]
Ťažisko: T[18,26547751873; 5,99990748009]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[18,015; -0,00221850592]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[18,545; 7,456590428]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 133,81215352019° = 133°48'42″ = 0,80661407872 rad
∠ B' = β' = 136,19554142662° = 136°11'43″ = 0,76545342485 rad
∠ C' = γ' = 89,99330505319° = 89°59'35″ = 1,57109176179 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 26 b = 24, 94 c = 36, 03

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 26 + 24, 94 + 36, 03 = 86, 97

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{8 6 , 9 7}{2} = 43, 49

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 43, 49 (43, 49 - 26) (43, 49 - 24, 94) (43, 49 - 36, 03) S = 105118, 61 = 324, 22

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 3 2 4 , 2 2}{2 6} = 24, 94 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 3 2 4 , 2 2}{2 4 , 9 4} = 26 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 3 2 4 , 2 2}{3 6 , 0 3} = 18

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{2 4 , 9 4 ^{2} + 3 6 , 0 3 ^{2} - 2 6 ^{2}}{2 \cdot 2 4 , 9 4 \cdot 3 6 , 0 3}) = 46 ° 1 1^{'} 18 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{2 6 ^{2} + 3 6 , 0 3 ^{2} - 2 4 , 9 4 ^{2}}{2 \cdot 2 6 \cdot 3 6 , 0 3}) = 43 ° 4 8^{'} 17 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 46 ° 1 1^{'} 18 " - 43 ° 4 8^{'} 17 " = 90 ° 25 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{3 2 4 , 2 2}{4 3 , 4 9} = 7, 46

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{2 6 \cdot 2 4 , 9 4 \cdot 3 6 , 0 3}{4 \cdot 7 , 4 5 6 \cdot 4 3 , 4 8 5} = 18, 02

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 4 , 9 4 ^{2} + 2 \cdot 3 6 , 0 3 ^{2} - 2 6 ^{2}}{2} = 28, 126 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 3 6 , 0 3 ^{2} + 2 \cdot 2 6 ^{2} - 2 4 , 9 4 ^{2}}{2} = 28, 837 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 6 ^{2} + 2 \cdot 2 4 , 9 4 ^{2} - 3 6 , 0 3 ^{2}}{2} = 18, 013

Vypočítať ďaľší trojuholník