Výpočet trojuholníka SSS - výsledok

Tupouhlý rôznostranný trojuholník.

Strany: a = 3 b = 1,35 c = 2,26

Obsah trojuholníka: S = 1,4355050478
Obvod trojuholníka: o = 6,61
Semiperimeter (poloobvod): s = 3,305

Uhol ∠ A = α = 109,82991553673° = 109°49'45″ = 1,91768803758 rad
Uhol ∠ B = β = 25,04442905067° = 25°2'39″ = 0,43771053282 rad
Uhol ∠ C = γ = 45,1276554126° = 45°7'36″ = 0,78876069496 rad

Výška trojuholníka: v_a = 0,95767003187
Výška trojuholníka: v_b = 2,12660007081
Výška trojuholníka: v_c = 1,27699561752

Ťažnica: t_a = 1,10222930645
Ťažnica: t_b = 2,5698691301
Ťažnica: t_c = 2,03333101092

Polomer vpísanej kružnice: r = 0,43442058935
Polomer opísanej kružnice: R = 1,5954543213

Súradnice vrcholov: A[2,26; 0] B[0; 0] C[2,71879424779; 1,27699561752]
Ťažisko: T[1,65993141593; 0,42333187251]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[1,13; 1,12550191368]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[1,955; 0,43442058935]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 70,17108446327° = 70°10'15″ = 1,91768803758 rad
∠ B' = β' = 154,95657094933° = 154°57'21″ = 0,43771053282 rad
∠ C' = γ' = 134,8733445874° = 134°52'24″ = 0,78876069496 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 3 b = 1, 35 c = 2, 26

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 3 + 1, 35 + 2, 26 = 6, 61

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{6 , 6 1}{2} = 3, 31

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 3, 31 (3, 31 - 3) (3, 31 - 1, 35) (3, 31 - 2, 26) S = 2, 06 = 1, 44

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 1 , 4 4}{3} = 0, 96 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 1 , 4 4}{1 , 3 5} = 2, 13 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 1 , 4 4}{2 , 2 6} = 1, 27

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 , 3 5 ^{2} + 2 , 2 6 ^{2} - 3 ^{2}}{2 \cdot 1 , 3 5 \cdot 2 , 2 6}) = 109 ° 4 9^{'} 45 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{3 ^{2} + 2 , 2 6 ^{2} - 1 , 3 5 ^{2}}{2 \cdot 3 \cdot 2 , 2 6}) = 25 ° 2^{'} 39 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 109 ° 4 9^{'} 45 " - 25 ° 2^{'} 39 " = 45 ° 7^{'} 36 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{1 , 4 4}{3 , 3 1} = 0, 43

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{3 \cdot 1 , 3 5 \cdot 2 , 2 6}{4 \cdot 0 , 4 3 4 \cdot 3 , 3 0 5} = 1, 59

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 , 3 5 ^{2} + 2 \cdot 2 , 2 6 ^{2} - 3 ^{2}}{2} = 1, 102 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 , 2 6 ^{2} + 2 \cdot 3 ^{2} - 1 , 3 5 ^{2}}{2} = 2, 569 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 3 ^{2} + 2 \cdot 1 , 3 5 ^{2} - 2 , 2 6 ^{2}}{2} = 2, 033

Vypočítať ďaľší trojuholník