Výpočet trojuholníka SSS - výsledok

Pravouhlý rôznostranný trojuholník.

Dĺžky strán trojuholníka:
a = 3
b = 4,55
c = 5,45

Obsah trojuholníka: S = 6,825
Obvod trojuholníka: o = 13
Semiperimeter (poloobvod): s = 6,5

Uhol ∠ A = α = 33,3988488468° = 33°23'55″ = 0,5832913589 rad
Uhol ∠ B = β = 56,6021511532° = 56°36'5″ = 0,98878827378 rad
Uhol ∠ C = γ = 90° = 1,57107963268 rad

Výška trojuholníka na stranu a: v_a = 4,55
Výška trojuholníka na stranu b: v_b = 3
Výška trojuholníka na stranu c: v_c = 2,5054587156

Ťažnica: t_a = 4,79108767465
Ťažnica: t_b = 3,76550531205
Ťažnica: t_c = 2,725

Polomer vpísanej kružnice: r = 1,05
Polomer opísanej kružnice: R = 2,725

Súradnice vrcholov: A[5,45; 0] B[0; 0] C[1,65113761468; 2,5054587156]
Ťažisko: T[2,36771253823; 0,83548623853]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[2,725; -0]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[1,95; 1,05]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 146,6021511532° = 146°36'5″ = 0,5832913589 rad
∠ B' = β' = 123,3988488468° = 123°23'55″ = 0,98878827378 rad
∠ C' = γ' = 90° = 1,57107963268 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 3 b = 4, 55 c = 5, 45

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 3 + 4, 55 + 5, 45 = 13

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{1 3}{2} = 6, 5

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 6, 5 (6, 5 - 3) (6, 5 - 4, 55) (6, 5 - 5, 45) S = 46, 58 = 6, 83

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 6 , 8 3}{3} = 4, 55 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 6 , 8 3}{4 , 5 5} = 3 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 6 , 8 3}{5 , 4 5} = 2, 5

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{4 , 5 5 ^{2} + 5 , 4 5 ^{2} - 3 ^{2}}{2 \cdot 4 , 5 5 \cdot 5 , 4 5}) = 33 ° 2 3^{'} 55 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{3 ^{2} + 5 , 4 5 ^{2} - 4 , 5 5 ^{2}}{2 \cdot 3 \cdot 5 , 4 5}) = 56 ° 3 6^{'} 5 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 33 ° 2 3^{'} 55 " - 56 ° 3 6^{'} 5 " = 90 °

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{6 , 8 3}{6 , 5} = 1, 05

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{3 \cdot 4 , 5 5 \cdot 5 , 4 5}{4 \cdot 1 , 0 5 \cdot 6 , 5} = 2, 73

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 4 , 5 5 ^{2} + 2 \cdot 5 , 4 5 ^{2} - 3 ^{2}}{2} = 4, 791 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 5 , 4 5 ^{2} + 2 \cdot 3 ^{2} - 4 , 5 5 ^{2}}{2} = 3, 765 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 3 ^{2} + 2 \cdot 4 , 5 5 ^{2} - 5 , 4 5 ^{2}}{2} = 2, 725

Vypočítať ďaľší trojuholník