Výpočet trojuholníka SSS - výsledok

Ostrouhlý rôznostranný trojuholník.

Dĺžky strán trojuholníka:
a = 3
b = 5
c = 5,83

Obsah trojuholníka: S = 7.54999994866
Obvod trojuholníka: o = 13,83
Semiperimeter (poloobvod): s = 6,915

Uhol ∠ A = α = 30,96993673338° = 30°58'10″ = 0,54105174272 rad
Uhol ∠ B = β = 59,05218321051° = 59°3'7″ = 1,03106488996 rad
Uhol ∠ C = γ = 89,97988005611° = 89°58'44″ = 1,57704263268 rad

Výška trojuholníka na stranu a: v_a = 54,9999996577
Výška trojuholníka na stranu b: v_b = 32,9999997946
Výška trojuholníka na stranu c: v_c = 2,57328986232

Ťažnica: t_a = 5,22196216338
Ťažnica: t_b = 3,90444141686
Ťažnica: t_c = 2,91659518172

Polomer vpísanej kružnice: r = 1,08545986242
Polomer opísanej kružnice: R = 2,91550001995

Súradnice vrcholov: A[5,83; 0] B[0; 0] C[1,5432787307; 2,57328986232]
Ťažisko: T[2,4587595769; 0,85876328744]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[2,915; 0,00110785501]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[1,915; 1,08545986242]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 149,03106326662° = 149°1'50″ = 0,54105174272 rad
∠ B' = β' = 120,94881678949° = 120°56'53″ = 1,03106488996 rad
∠ C' = γ' = 90,02111994389° = 90°1'16″ = 1,57704263268 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 3 b = 5 c = 5, 83

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 3 + 5 + 5, 83 = 13, 83

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{1 3 , 8 3}{2} = 6, 92

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 6, 92 (6, 92 - 3) (6, 92 - 5) (6, 92 - 5, 83) S = 56, 25 = 7, 5

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 7 , 5}{3} = 5 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 7 , 5}{5} = 3 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 7 , 5}{5 , 8 3} = 2, 57

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{5 ^{2} + 5 , 8 3 ^{2} - 3 ^{2}}{2 \cdot 5 \cdot 5 , 8 3}) = 30 ° 5 8^{'} 10 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{3 ^{2} + 5 , 8 3 ^{2} - 5 ^{2}}{2 \cdot 3 \cdot 5 , 8 3}) = 59 ° 3^{'} 7 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 30 ° 5 8^{'} 10 " - 59 ° 3^{'} 7 " = 89 ° 5 8^{'} 44 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{7 , 5}{6 , 9 2} = 1, 08

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{3 \cdot 5 \cdot 5 , 8 3}{4 \cdot 1 , 0 8 5 \cdot 6 , 9 1 5} = 2, 92

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 5 ^{2} + 2 \cdot 5 , 8 3 ^{2} - 3 ^{2}}{2} = 5, 22 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 5 , 8 3 ^{2} + 2 \cdot 3 ^{2} - 5 ^{2}}{2} = 3, 904 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 3 ^{2} + 2 \cdot 5 ^{2} - 5 , 8 3 ^{2}}{2} = 2, 916

Vypočítať ďaľší trojuholník