Výpočet trojuholníka SSS - výsledok
Tupouhlý rôznostranný trojuholník.
Dĺžky strán trojuholníka:a = 3
b = 6
c = 7,57
Obsah trojuholníka: S = 8,45879453622
Obvod trojuholníka: o = 16,57
Semiperimeter (poloobvod): s = 8,285
Uhol ∠ A = α = 21,86657232273° = 21°51'57″ = 0,38216288636 rad
Uhol ∠ B = β = 48,14875296217° = 48°8'51″ = 0,84403329186 rad
Uhol ∠ C = γ = 109,9876747151° = 109°59'12″ = 1,92196308713 rad
Výška trojuholníka na stranu a: va = 5,63986302414
Výška trojuholníka na stranu b: vb = 2,81993151207
Výška trojuholníka na stranu c: vc = 2,23545958685
Ťažnica: ta = 6,6643516339
Ťažnica: tb = 4,91545142181
Ťažnica: tc = 2,8598981462
Polomer vpísanej kružnice: r = 1,02108745157
Polomer opísanej kružnice: R = 4,02875739014
Súradnice vrcholov: A[7,57; 0] B[0; 0] C[2,00216446499; 2,23545958685]
Ťažisko: T[3,19105482166; 0,74548652895]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[3,785; -1,37766359472]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[2,285; 1,02108745157]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 158,13442767728° = 158°8'3″ = 0,38216288636 rad
∠ B' = β' = 131,85224703783° = 131°51'9″ = 0,84403329186 rad
∠ C' = γ' = 70,0133252849° = 70°48″ = 1,92196308713 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=3 b=6 c=7,57
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=3+6+7,57=16,57
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=216,57=8,29
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=8,29(8,29−3)(8,29−6)(8,29−7,57) S=71,54=8,46
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=32⋅ 8,46=5,64 vb=b2 S=62⋅ 8,46=2,82 vc=c2 S=7,572⋅ 8,46=2,23
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 6⋅ 7,5762+7,572−32)=21°51′57" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 3⋅ 7,5732+7,572−62)=48°8′51" γ=180°−α−β=180°−21°51′57"−48°8′51"=109°59′12"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=8,298,46=1,02
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 1,021⋅ 8,2853⋅ 6⋅ 7,57=4,03
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 62+2⋅ 7,572−32=6,664 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 7,572+2⋅ 32−62=4,915 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 32+2⋅ 62−7,572=2,859
Vypočítať ďaľší trojuholník