Výpočet trojuholníka SSS - výsledok

Ostrouhlý rovnoramenný trojuholník.

Dĺžky strán trojuholníka:
a = 3
b = 7
c = 7

Obsah trojuholníka: S = 10,25660957484
Obvod trojuholníka: o = 17
Semiperimeter (poloobvod): s = 8,5

Uhol ∠ A = α = 24,74772502324° = 24°44'50″ = 0,43219209974 rad
Uhol ∠ B = β = 77,62663748838° = 77°37'35″ = 1,35548358281 rad
Uhol ∠ C = γ = 77,62663748838° = 77°37'35″ = 1,35548358281 rad

Výška trojuholníka na stranu a: v_a = 6,83773971656
Výška trojuholníka na stranu b: v_b = 2,9330313071
Výška trojuholníka na stranu c: v_c = 2,9330313071

Ťažnica: t_a = 6,83773971656
Ťažnica: t_b = 4,09326763859
Ťažnica: t_c = 4,09326763859

Polomer vpísanej kružnice: r = 1,20765994998
Polomer opísanej kružnice: R = 3,58332348782

Súradnice vrcholov: A[7; 0] B[0; 0] C[0,64328571429; 2,9330313071]
Ťažisko: T[2,54876190476; 0,97767710237]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[3,5; 0,76878360453]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[1,5; 1,20765994998]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 155,25327497676° = 155°15'10″ = 0,43219209974 rad
∠ B' = β' = 102,37436251162° = 102°22'25″ = 1,35548358281 rad
∠ C' = γ' = 102,37436251162° = 102°22'25″ = 1,35548358281 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 3 b = 7 c = 7

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 3 + 7 + 7 = 17

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{1 7}{2} = 8, 5

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 8, 5 (8, 5 - 3) (8, 5 - 7) (8, 5 - 7) S = 105, 19 = 10, 26

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 1 0 , 2 6}{3} = 6, 84 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 1 0 , 2 6}{7} = 2, 93 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 1 0 , 2 6}{7} = 2, 93

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{7 ^{2} + 7 ^{2} - 3 ^{2}}{2 \cdot 7 \cdot 7}) = 24 ° 4 4^{'} 50 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{3 ^{2} + 7 ^{2} - 7 ^{2}}{2 \cdot 3 \cdot 7}) = 77 ° 3 7^{'} 35 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 24 ° 4 4^{'} 50 " - 77 ° 3 7^{'} 35 " = 77 ° 3 7^{'} 35 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{1 0 , 2 6}{8 , 5} = 1, 21

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{3 \cdot 7 \cdot 7}{4 \cdot 1 , 2 0 7 \cdot 8 , 5} = 3, 58

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 7 ^{2} + 2 \cdot 7 ^{2} - 3 ^{2}}{2} = 6, 837 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 7 ^{2} + 2 \cdot 3 ^{2} - 7 ^{2}}{2} = 4, 093 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 3 ^{2} + 2 \cdot 7 ^{2} - 7 ^{2}}{2} = 4, 093

Vypočítať ďaľší trojuholník