Výpočet trojuholníka SSS - výsledok
Rovnostranný trojuholník.
Dĺžky strán trojuholníka:a = 3,46
b = 3,46
c = 3,46
Obsah trojuholníka: S = 5,1843854862
Obvod trojuholníka: o = 10,38
Semiperimeter (poloobvod): s = 5,19
Uhol ∠ A = α = 60° = 1,04771975512 rad
Uhol ∠ B = β = 60° = 1,04771975512 rad
Uhol ∠ C = γ = 60° = 1,04771975512 rad
Výška trojuholníka na stranu a: va = 2,99664478971
Výška trojuholníka na stranu b: vb = 2,99664478971
Výška trojuholníka na stranu c: vc = 2,99664478971
Ťažnica: ta = 2,99664478971
Ťažnica: tb = 2,99664478971
Ťažnica: tc = 2,99664478971
Polomer vpísanej kružnice: r = 0,99988159657
Polomer opísanej kružnice: R = 1,99876319314
Súradnice vrcholov: A[3,46; 0] B[0; 0] C[1,73; 2,99664478971]
Ťažisko: T[1,73; 0,99988159657]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[1,73; 0,99988159657]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[1,73; 0,99988159657]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 120° = 1,04771975512 rad
∠ B' = β' = 120° = 1,04771975512 rad
∠ C' = γ' = 120° = 1,04771975512 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=3,46 b=3,46 c=3,46
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=3,46+3,46+3,46=10,38
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=210,38=5,19
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=5,19(5,19−3,46)(5,19−3,46)(5,19−3,46) S=26,87=5,18
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=3,462⋅ 5,18=3 vb=b2 S=3,462⋅ 5,18=3 vc=c2 S=3,462⋅ 5,18=3
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 3,46⋅ 3,463,462+3,462−3,462)=60° b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 3,46⋅ 3,463,462+3,462−3,462)=60° γ=180°−α−β=180°−60°−60°=60°
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=5,195,18=1
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 0,999⋅ 5,193,46⋅ 3,46⋅ 3,46=2
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 3,462+2⋅ 3,462−3,462=2,996 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 3,462+2⋅ 3,462−3,462=2,996 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 3,462+2⋅ 3,462−3,462=2,996
Vypočítať ďaľší trojuholník