Výpočet trojuholníka SSS - výsledok

Tupouhlý rôznostranný trojuholník.

Dĺžky strán trojuholníka:
a = 3,84
b = 3
c = 5

Obsah trojuholníka: S = 5,75114567755
Obvod trojuholníka: o = 11,84
Semiperimeter (poloobvod): s = 5,92

Uhol ∠ A = α = 50,07328315231° = 50°4'22″ = 0,87439357759 rad
Uhol ∠ B = β = 36,80661884285° = 36°48'22″ = 0,64223891732 rad
Uhol ∠ C = γ = 93,12109800484° = 93°7'16″ = 1,62552677045 rad

Výška trojuholníka na stranu a: v_a = 2,99655504039
Výška trojuholníka na stranu b: v_b = 3,8344304517
Výška trojuholníka na stranu c: v_c = 2,30105827102

Ťažnica: t_a = 3,64987806182
Ťažnica: t_b = 4,19879518816
Ťažnica: t_c = 2,3711244399

Polomer vpísanej kružnice: r = 0,97215298607
Polomer opísanej kružnice: R = 2,50437135046

Súradnice vrcholov: A[5; 0] B[0; 0] C[3,075456; 2,30105827102]
Ťažisko: T[2,692152; 0,76768609034]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[2,5; -0,13663132908]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[2,92; 0,97215298607]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 129,92771684769° = 129°55'38″ = 0,87439357759 rad
∠ B' = β' = 143,19438115716° = 143°11'38″ = 0,64223891732 rad
∠ C' = γ' = 86,87990199516° = 86°52'44″ = 1,62552677045 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 3, 84 b = 3 c = 5

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 3, 84 + 3 + 5 = 11, 84

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{1 1 , 8 4}{2} = 5, 92

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 5 , 7 5}{3 , 8 4} = 3 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 5 , 7 5}{3} = 3, 83 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 5 , 7 5}{5} = 2, 3

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{5 , 7 5}{5 , 9 2} = 0, 97

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{3 , 8 4 \cdot 3 \cdot 5}{4 \cdot 0 , 9 7 2 \cdot 5 , 9 2} = 2, 5

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

Vypočítať ďaľší trojuholník