Výpočet trojuholníka SSS - výsledok
Pravouhlý rôznostranný trojuholník.
Dĺžky strán trojuholníka:a = 30
b = 12,5
c = 32,5
Obsah trojuholníka: S = 187,5
Obvod trojuholníka: o = 75
Semiperimeter (poloobvod): s = 37,5
Uhol ∠ A = α = 67,3880135052° = 67°22'49″ = 1,17660052071 rad
Uhol ∠ B = β = 22,6219864948° = 22°37'11″ = 0,39547911197 rad
Uhol ∠ C = γ = 90° = 1,57107963268 rad
Výška trojuholníka na stranu a: va = 12,5
Výška trojuholníka na stranu b: vb = 30
Výška trojuholníka na stranu c: vc = 11,53884615385
Ťažnica: ta = 19,52656241898
Ťažnica: tb = 30,64441266803
Ťažnica: tc = 16,25
Polomer vpísanej kružnice: r = 5
Polomer opísanej kružnice: R = 16,25
Súradnice vrcholov: A[32,5; 0] B[0; 0] C[27,69223076923; 11,53884615385]
Ťažisko: T[20,06441025641; 3,84661538462]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[16,25; -0]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[25; 5]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 112,6219864948° = 112°37'11″ = 1,17660052071 rad
∠ B' = β' = 157,3880135052° = 157°22'49″ = 0,39547911197 rad
∠ C' = γ' = 90° = 1,57107963268 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=30 b=12,5 c=32,5
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=30+12,5+32,5=75
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=275=37,5
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=37,5(37,5−30)(37,5−12,5)(37,5−32,5) S=35156,25=187,5
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=302⋅ 187,5=12,5 vb=b2 S=12,52⋅ 187,5=30 vc=c2 S=32,52⋅ 187,5=11,54
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 12,5⋅ 32,512,52+32,52−302)=67°22′49" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 30⋅ 32,5302+32,52−12,52)=22°37′11" γ=180°−α−β=180°−67°22′49"−22°37′11"=90°
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=37,5187,5=5
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 5⋅ 37,530⋅ 12,5⋅ 32,5=16,25
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 12,52+2⋅ 32,52−302=19,526 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 32,52+2⋅ 302−12,52=30,644 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 302+2⋅ 12,52−32,52=16,25
Vypočítať ďaľší trojuholník